9 клас. Компетентнісні задачі

9 клас. Алгебра

9.0 Проаналізуйте учнівські  висловлювання:

Приклади учнівських афоризмів:

·        Скажи мені, скільки ти розв’язав нових задач, і я скажу тобі, який ти математик.

·        Бути мудрим  означає вміти  відсіювати хибне, миттєве.

·        Заборони собі  розв’язувати задачі – і  ти не зрозумієш  закони Всесвіт.

·        Під час розв’язування  складної задачі  шаленіють вічні закони, про те влада над числами – це багатство розуму.

·        Мудрий математик сто разів обміркує і тоді  самовпевнено  висловить думку.

·        Чим більше заплутуєшся в числах, тим складніше  розв’язання задачі.

·        Азарт математика бере на себе всю відповідальність за дозвіл того, що вазагалі то заборонено.

·        Краще  достовірне  знання про  числа,  ніж  азарт  у  грі з числами.

Із якими висловлювання ти не погоджуєся?

9.1 Уявіть собі, що вам  дали можливість  запрограмувати гральний апарат,  у якому  виграші випадають на унікальні  властивості  та закономірності періоду декількох останніх цифр у степеневих числах виду а^m .  А правила  ігри такі. Гравець угадує  наперед три останні цифри, які ось-ось випадуть на екрані, гравець  сам задає  для грального автомата закон утворення  цифр, тобто цифри утворюються із чисел вигляду а^m , де а – цифра, яку обирає гравець,  а показник степеня вибирає випадковим чином автомат.  Якщо гравець угадав усі три цифри, то він отримує десяту  долю від закинутих в автомат грошей.   Тому розумному  гравцю спочатку треба провести досліди, аби знати, які цифри варто пропонувати.  Таким чином  розглянемо рівняння з трьома змінними на знаходження остач від ділення  виразів 2^m  на 10, 100, 1000, 1000 і так далі. Для цього складаємо рівняння

2^m º g(mod 10ⁿ),

де n, m, g -  невідомі натуральні числа.

Розглянемо конкретний випадок при  n=3, тобто  2^m º g(mod 1000),

Отже, шукаємо найменший 3-цифровий період для змінної  g:

Т₃(2^m)=4*5²=100;

тому  для будь-якого натурального числа m  маємо лише сто  трицифрових значень для змінної  g  у рівнянні

2^m º g(mod 1000),

а саме  g={128; 256; 512; 024; 048; 096; 192;384; 768; 536; 072; 144; 288;  576; 152; 304;  608; 216;432;864;728;456;912;  824; 648; 296; 592; 184; 368; 736; 472; 944; 888; 776; 552; 104; 208; 416; 832; 664; 328; 656; 312; 624; 248; 496; 992; 984; 968; 936; 872; 744; 488; 976; 952; 904; 808; 616; 232;464; 928; 856; 712; 424; 848; 696; 392; 784; 568; 136; 272; 544; 088; 176; 352; 704; 408; 816; 632; 264;    528; 056; 112; 224; 448; 896; 792; 584; 168; 336; 672; 344; 688; 376; 752; 504, 008; 016; 032; 064}. Отже існує сто варіантів( із 900 можливих) виграшних станів, якщо граємо трицифровими числами. Тобто 800 станів(трицифрових чисел) у цьому гральному автоматі  є програшними. А ймовірність виграшу дорівнює 0,1111….  .

Розглянемо конкретний випадок при  n=2, тобто  2^m º g(mod 100),

Знаходимо найменший двоцифровий  період  Т₂(2^m)=4*5¹=20,  тому  маємо двадцять двоцифрових значень  змінної   g  у  рівняння

2^m º g(mod 100),

а саме  g ={, 02, 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,76, 52}.

Отже, існує двадцять варіантів (із 90 можливих варіантів) виграшних станів, якщо граємо двоцифровими числами . Тобто 80 станів у цьому гральному автоматі  є програшними. А ймовірність виграшу дорівнює 0,1111….

Розглянемо конкретний випадок при  n=1, тобто 2^m º g(mod 10).

Знаходимо найменший одноцифровий період Т₁(2^m)= 4*5⁰=4,  тому чотири одноцифрових розв’язків рівняння 2^m º g(mod 10), а саме  g ={2, 4, 8, 6}.

Отже, існує чотири варіанти (із 10 можливих цифр) виграшних станів, якщо граємо одноцифровими числами . Тобто 6  станів у цьому гральному автоматі  є програшними. А ймовірність виграшу дорівнює 0,4 . 

Згідно індукції  доводимо, що

Найменший n-цифровий період Т_n(2^m)=4*5^n-1, - це формула геометричної прогресії із знаменником 5. Число 4*5^n-1– це кількість  n-цифрових  чисел, які задовольняють  змінну g   у  рівнянні  2^m º g(mod 10ⁿ).

Завдання

1)    Перевірте, що  існує 8=2³ підмножин у множини  з трьома елементами? Максим міркує,  скільки існує способів  поставити у чергу за купівлею крутого смартфона трьох чоловік? Допоможіть йому.

2)    Перевірте, що  існує 16=2⁴  підмножин  у множини  з чотирма  елементами? У дизайнера Ігора є лише 4 різні скульптури. Дизайнер Ігор міркує, скільки існує варіантів поставити на алеї   ці скульптури? Допоможіть йому.

3)    Перевірте, що  існує 2⁵  підмножин  у множини  з п’ятьма елементами?
Скільки існує варіантів поставити на полицю  5 різних підручників?

4)    Скільки існує розв’язків рівняння  4*5^n-1 = 4? 

5)    Скільки існує розв’язків рівняння  4*5^n-1 = 20?

6)     Для яких натуральних значень m   правильна рівність  2^m º 2(mod 10)?

7)     Для яких натуральних значень m  виконується рівність  2^m º 64(mod 100)?

8)      Для яких натуральних значень m   не виконується рівність  2^m º 512(mod 1000)?

9)      Використовуючи табличний процесор MS Exсel знайти множину значень

      для   g, що задовольняють рівняння:

                                                      3^m º g(mod 100).

10) Використовуючи табличний процесор MS Exсel знайти множину значень

      для   g, що задовольняють рівняння:

                                                      4^m º g(mod 100).

11)      Знайти кількість  4-цифрових  чисел, які задовольняють  змінну g в рівнянні                                                                    

                                                   6^m º g(mod 10000).

12)       Знайти кількість  5-цифрових  чисел, які задовольняють  змінну g в рівнянні                                                                   

                                                   7^m º g(mod 10000).

9.2   Уявіть собі, що вам  треба  створити алгоритм, який породжує числові послідовності з властивостями арифметичної  прогресії  або з наперед заданими властивостями подільності чисел. Для створення такого алгоритму слід розглянути  властивості рівняння прямої в прямокутній системі координат

з кутовим коефіцієнтом  у = kx + b, де кутовий коефіцієнт k = tgj, кут j - це кут між прямою і додатним  напрямом осі Ох,  при цьому k, x,  b – довільні числа. Значення х – називають аргументом, значення у – називають функцією.

В математиці, зокрема в теорії функцій рівняння у = kx + b задає так звану  лінійну функцію, графіком  якої в прямокутній системі координат є пряма лінія.

 В арифметиці чисел  рівняння у = kx + b задають послідовність чисел, яку називають арифметична прогресія, зрозуміло, що  k, b – довільні числа,  х – натуральні числа(номер члена прогресії).  

У фізиці рівняннями у = kx + b задають  або описують рівномірні процеси, наприклад, рівномірний рух  транспорту по прямій.

А в теорії цілих чисел рівняннями  у = kx + b задають послідовність чисел, які при ділення на ціле k мають остачу  b, (зрозуміло, що k – дільник числа у, b – остача,  х – неповна частка).

Ми будемо розглядати арифметичну прогресію:  у(n) =а_n = kn+b.

1.  Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим же числом, називається арифметичною прогресією.

Приклад:  1) 3,7;.....;   2) -5, -1,.......

2.  Різниця між будь-якими двома сусідніми членами арифметичної прогресії дорівнює одному і тому ж числу.

Приклад:  3, 7, 11, 15, 19, ............
                    7-3=4; 11-7=4; 15-11=4; 19-15=4; .......

Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається буквою d.

Приклад:  4,8,12,16,20,......; різниця: d=4

Розглянемо властивості рівняння   у(n) =а_n = kn+b.

1) якщо k = 0, b = 0, то  а_n = 0  - це рівняння  арифметичної прогресії із нульових чисел або рівняння натуральних на осі абсцис Ох;

2) якщо k = 0, b ≠ 0, то  а_n = b  - це сталої арифметичної прогресії, з різницею 0, або  рівняння цілих точок на прямих,  що паралельні до осі  абсцис Ох і проходять через точку (0;  b);

3) якщо k = 1, b = 0, то а_n = n - це рівняння цілих точок   прямої, що є бісектрисою першої  та третьої координатних  чвертей);

4) якщо k = -1, b = 0, то  а_n = - n  - це рівняння  цілих точок прямої, що є бісектрисою другої  та четвертої координатних чвертей);

5) якщо k = 2, b = 0,  х = n – цілі числа, то  а_n = 2n - це рівняння  парних чисел;

6) якщо k = 2, b = -1,  х = n – цілі числа, то  а_n = 2n-1 - це рівняння  непарних чисел;

7) якщо k = 6, b = -1,  х = n – цілі числа, то а_n = 6n-1  - це рівняння  цілих чисел, які при діленні на 6 дають остачу 5;

8) якщо k = 6, b = +1,  х = n – цілі числа, то а_n = 6n+1 - це рівняння  цілих(непарних) чисел, які при діленні на 6 дають остачу 1;

9) якщо k = 15, b = +1,  х = n – цілі числа, то а_n = 15n+1  - це рівняння  цілих(парних і непарних) чисел, які при діленні на 3 і на 5 дають остачу 1.

МАГІЧНА ВЛАСТИВІСТЬ  АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ

Члени арифметичної прогресії дають можливість швидко утворити магічні квадрати або на сумах або добутках.  Наводимо  два  довільних  магічних  квадрати 3х3 на сумах, що утворюються з 9-ти членів деякої арифметичної прогресії:

Р4=а + 3d	Р9=а + 8d	Р2=а + d
Р3=а + 2d	Р5=а + 4d	Р7=а + 6d
Р8=а + 7d	Р1=а	Р6=а + 5d

С4=n + 3m	С9=n + 8m	С2=n + m
С3=n+ 2m	С5=n + 4m	С7=n + 6m
С8=n + 7m	С1=n	С6=n + 5m

Числа {a, d, n, m} – натуральні.

Перетворимо ці магічні квадрати деяким чином і утворимо магічні квадрати на добутках. Вважатимемо, що число у кожній клітинці першого магічного квадрату на сумах є показником степені з основою  р і число у кожній клітинці другого магічного квадрату є показником степені з основою  g.

 Отримаємо нові магічні квадрати на добутках, для яких зникла   магічна   сума, проте виник  магічний добуток:

ра + 3d	ра + 8d	ра + d
ра + 2d	ра + 4d	ра + 6d
ра + 7d	ра	ра + 5d

gn + 3m	gn + 8m	gn + m
gn+ 2m	gn + 4m	gn + 6m
gn + 7m	gn	gn + 5m

Тепер виконаємо множення тільки тих степенів, які розташовані у відповідних клітинках.  Тобто, накладемо ці два квадрати одне на один, і перемножимо ті степені, які стоять в одній клітинці.

ра + 3dgn + 3m	ра + 8dgn + 8m	ра + dgn + m
ра + 2dgn+ 2m	ра + 4dgn + 4m	ра + 6dgn + 6m
ра + 7dgn + 7m	раgn	ра + 5dgn + 5m

Останній квадрат можна використати як шаблон для утворення безлічі квадратів з магічним добутком. При цьому, варто зазначити, що числа р і g можна накладити різні умови:  простоти, парності, непарності, кратності, подільності.

Завдання.

1.Запропонуйте найзручніший спосіб підрахунку  для знаходження  суми всіх грошей, що лежать у 100 конвертах, якщо у першому конверті лежить 1 грн, у другому конверті лежить 2 грн, у третьому конверті лежить 3 грн, і так далі до сотого конверта, в якому лежить 100 грн. Із 16-ти членів цієї арифметичної прогресії утворіть магічний квадрат на сумах розміром 4х4.

 2. Запропонуйте найзручніший спосіб підрахунку  для знаходження  суми всіх грошей, що лежать у 100 конвертах, якщо у першому конверті лежить 2 грн, у другому конверті лежить 4 грн, у третьому конверті лежить 6 грн, і так далі до сотого конверта, в якому лежить 200 грн.  Із 9-ти членів цієї арифметичної прогресії утворіть магічний квадрат на сумах розміром 3х3.

3. Запропонуйте найзручніший спосіб підрахунку  для знаходження  суми всіх грошей, що лежать у 100 конвертах, якщо у першому конверті лежить 1 грн, у другому конверті лежить 3 грн, у третьому конверті лежить 5 грн, і так далі до сотого конверта, в якому лежить 199 грн. Із 9-ти членів цієї арифметичної прогресії утворіть магічний квадрат на сумах розміром 3х3.

 4. Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження    кількості грошей у першому конверті і кількості грошей у п’ятому конверті, якщо в шести конвертах лежать гроші так, що утворюють зростаючу арифметичну прогресію, з різницею 7  та сумою грошей в шести  конвертах дорівнює 159. Із 9-ти членів цієї арифметичної прогресії утворіть магічний квадрат на сумах розміром 3х3.

5.Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  кількості грошей у другому конверті, якщо у третьому кількість грошей становить 50% від кількості грошей у шостому конверті, а   добуток кількості грошей у третьому та шостому конверті дорівнює 288, якщо в шести конвертах лежать гроші так, що утворюють зростаючу арифметичну прогресію.

6.Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  чотирьох чисел, які знаходяться між числами 1 та 8  і всі ці шість чисел утворюють арифметичну прогресію.

7.Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  двох невідомих чисел, для яких середнє арифметичне дорівнює 10, а середнє геометричне дорівнює 6. 

8.Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  х: 2+5+8+ ... + х =155. Із 9-ти членів цієї арифметичної прогресії утворіть магічний квадрат на добутках розміром 3х3.

9.Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  суми всіх натуральних двозначних чисел, які не діляться на 7 без залишку.

  10.Восьмий член арифметичної прогресії становить 40% від четвертого члена, а їх сума дорівнює 2,8. Скільки потрібно взяти членів цієї прогресії, щоб їх сума дорівнювала 14,3?

11.Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження  суми всіх тризначних чисел, які кратні 3.

12.Запропонуйте найзручніший спосіб знаходження семи чисел, які знаходяться  між числами 3 і 23   та усі дев’ять чисел утворюють арифметичну прогресію. Із 9-ти членів цієї арифметичної прогресії утворіть магічний квадрат на добутках розміром 3х3.