суботу, 22 квітня 2017 р.

5 клас. Компетентнісні задачі

Пам’ятка  „Юного математики”
  1. Уважно прочитайте умову задачі і визначте порядок, у якому будете їх розв’язувати (краще починати з легших задач, які, як правило, розміщені з початку).
  2. Якщо умову задачі можна зрозуміти різними способами, то не вибирайте найзручніший для себе, а зверніться за консультацією до наставника.
  3. Якщо незрозуміло, чи правильне деяке твердження, то спробуйте його довести або спростувати.
  4. Не зациклюйтесь на одній задачі. Якщо немає ідеї розв’язання, то задачу краще на деякий час облишити.
  5. Розв’язавши задачу, зразу ж оформляйте розв’язання. Це допоможе перевірити його правильність і звільнить увагу для інших задач.
  6. Кожен, навіть очевидний, крок розв’язування треба записувати. Громіздкі розв’язки краще записувати у вигляді кількох тверджень(лем).
  7. Перед тим, як здати наставнику роботу, уважно перечитайте її очима наставника, чи зможе він зрозуміти ваші записи. 


1.     Компетентні задачі для розвитку обчислювальних компетенцій

Математика
5       клас.
5.1  Уявіть собі, що вам дали можливість дослідити унікальні  можливості  туристичних об’єктів  по містечку «КВАДРАТ»,  котре наочно показано на малюнку у вигляді клітинок магічного квадрату 3х3 на сумах.  У містечку  «КВАДРАТ»  всього є  9 різних туристичних послуг. У кожній клітинці є лише один туристичний об’єкт.  Вартість 9 різних туристичних  послуг( у гривнах) записана  в клітинках квадратної  таблиці по кожному об’єкту з цієї клітинки.

Завдання:
1)    Складіть декілька  туристичних маршрутів  відвідування об’єктів. Зрозуміло, що користування туристичними послугами ведуть до  фінансових витрат, тому  сума витрат   туриста  не повинна перевищувати  111 грн. Скільки туристичних маршрутів, вартість яких дорівнює рівно 111 грн?
2)    Складіть траєкторію маршруту, який складається з 3 туристичних об’єктів міста «Квадрат» і має найбільшу вартість туристичних послуг.
3)    Складіть траєкторію маршруту, який складається з 3 туристичних об’єктів міста «Квадрат» і має  найменшу вартість туристичних послуг.
4)    Складіть траєкторію маршруту, який складається з 5 туристичних об’єктів міста «Квадрат» і має   найменшу вартість послуг.
5)    Усі 9 туристичних послуг поділіть за деякою  кількісною ознакою на дві різні групи А, В,  кожна з яких містить  довільну кількість послуг.  Чи можна вибрати іншу кількісну ознаку для утворення  таких  двох груп?
6)    Усі 9 туристичних послуг поділіть за деякою  кількісною ознакою на три різні групи А, В, С, кожна з яких містить лише три різні послуги.  Чи можна вибрати іншу кількісну ознаку для утворення  таких трьох груп?
7)     Виокреміть із 9 туристичних послуг  таку послугу, вартість якої не можна порівну поділити між трьома туристами цілими частинами. Скільки таких туристичних послуг?
8)    Поясніть власну точку зору, чому саме так спроектовано розташування усіх 9 послуг у місті «Квадрат».
9)    Поясніть власну точку зору,  чому  серед  9 послуг у місті «Квадрат» існує  туристична послуга, вартість якої дорівнює 1 грн.
10)       Як можна змінювати розташування 9 послуг у місті «Квадрат», аби зберегти умову магічності на сумах(сума по рядках, по стовбцях, по діагоналях дорівнює 111)?
11)       Яке математичне перетворення треба здійснити над усіма  вартостями послуг  у місті «Квадрат»,   аби не виконувалася умова магічності на сумах, а виконувалася умова магічності на добутках (добутки чисел по рядках, по стовбцях, по діагоналях дорівнює  12321).
12)       Муніципалітет міста  вирішив виділити кошти на побудову нового туристичного  містечка  «Трикутник», тому  вам треба розташувати   9 туристичних послуг різної вартості (1 грн, 2 грн, 3 грн, …, 7 грн, 8 грн, 9 грн) на сторонах магічного трикутника (сума чисел(вартість послуг) по сторонах трикутника повинна бути однакова). Запропонуйте декілька можливих варіантів такого містечка.



5.2  Задачі на числові стрічки

Уявіть себе художником і вам треба підібрати декілька кольорів для  розфарбування стрічки. Кольори для зручності будемо позначати числами від 0 до 8. Вам треба дослідити властивості такої стрічки.


12345678


 


Завдання.
1. У кожній клітинці 9-клітинкової стрічки розташовані числа від 0 до 8.
Обґрунтуйте, чому сума чисел у будь-яких трьох послідовних клітинках  ділиться націло на 3.












2. Заповніть порожню стрічку числами 0, 1, 2, так, щоб сума у трьох сусідніх клітинках дорівнювала 3. Дотримуючись умов задачі, обґрунтуйте відповіді на такі питання:

a)    Скільки існує способів заповнення цієї стрічки?
b)   Скільки клітинок будуть заповнені  одним числом?
c)    Чи завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки ділиться на  6?
d)   Яка найменша кількість послідовних  клітинок заповненої стрічки,  в яких сума чисел рівна 5?
e)    В скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?
f)     Чому дорівнює  найменше число, яке може утвориться в заповненій стрічці?
g)    Чи рівні  між собою усі можливі добутки семи чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?
h)   Скільки найменше треба взяти будь-яких клітинок  із  заповненої стрічки, аби  добуток чисел цих клітинок  був найбільшим?

3.    У кожній клітинці 9-клітинкової стрічки розташовані натуральні числа. Для будь-яких трьох послідовних клітинок заповненої стрічки виконуються умова: сума  чисел рівна чотири.












Дотримуючись цих умов, обґрунтуйте відповіді на такі питання:



a)    Скільки існує способів заповнення цієї стрічки?
b)   Яка найменша кількість клітинок буде заповнена одним числом?
c)    Чи завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 6?
d)   Яка найменша кількість послідовних  клітинок заповненої стрічки,  в яких сума чисел рівна 5?
e)    В скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?
f)     Чому дорівнює  найменше число, яке може утвориться в заповненій стрічці?
g)    Чи рівні  між собою усі можливі добутки семи чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?
h)   Скільки найменше треба взяти будь-яких клітинок  із  заповненої стрічки, аби  добуток чисел цих клітинок  був найбільшим?
i)      Чи для будь-яких трьох послідовних клітинок заповненої стрічки добуток чисел однаковий?

4.    У кожній клітинці 9-клітинкової стрічки розташовані натуральні числа. Для будь-яких чисел з трьох послідовних клітинок заповненої стрічки виконуються умова: сума  і добуток  рівні між собою. Дотримуючись цих умов, обґрунтуйте відповіді на такі питання:
a)    Скільки існує способів заповнення цієї стрічки?
b)   Яка найменша кількість клітинок буде заповнена одним числом?
c)    Чи завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 12?
d)   Яка найменша кількість послідовних  клітинок заповненої стрічки,  в яких сума чисел рівна 15?
e)    В скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший добуток чисел?
f)     Чому дорівнює  найменше число, яке може утвориться в заповненій стрічці?
g)    Чи рівні  між собою усі можливі добутки семи чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої стрічки?
h)   Скільки найменше треба взяти будь-яких клітинок  із  заповненої стрічки, аби  добуток чисел цих клітинок  був найбільшим?
i)      Чи для будь-яких шести послідовних клітинок заповненої стрічки добуток чисел однаковий?







Відповіді.
 До задачі  1.
a)    Так як остачі від ділення на 3 для трьох послідовних чисел:  3 = 0+1+2, тоді для розташування  цих чисел в перших трьох клітинках існує 1∙2∙3=6 способів. Тобто 0+1+2 = 0+2+1 = 1+0+2 = 1+2+0 = 2+1+0 = 2+0+1. Таким чином, існує  шість способів заповнення стрічки.
b)   9:3=3 клітинки будуть заповнені  числом 2.
c)    Так, адже у будь-яких трьох послідовних клітинках  рівна 3, тому  у шести послідовних клітинках 3+3=6.
d)   4 клітинки, адже у будь-яких  чотирьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково містяться  клітинки з числами 0 і 1. Наприклад; 2+0+1+2=5.
e)    В двох клітинках, бо у будь-яких  трьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково міститься  клітинка з числом 0. Тому добуток чисел у послідовних трьох клітинках рівний нулю. Найбільший добуток  в двох клітинках рівний 2.
f)     12012012.
g)    Так, рівні нулю. За принципом Діріхле знайдеться принаймні одна клітинка з цифрою 0..
h)   Три клітинки з числами 2. Найбільший добуток рівний 6.
До задачі  2.
a)    Так як 4= 1+1+2=1+2+1=2+1=1,  тоді для розташування  цих чисел в перших трьох клітинках стрічки існує 3 способи, а всі інші клітинки заповнюються однозначно відповідно до умови задачі. Існує три способи заповнення стрічки.
b)   9:3=3 клітинки.
c)    Ні, адже у будь-яких трьох послідовних клітинках  рівна 4, тому у шести послідовних клітинках  4+4=8.
d)   4 клітинки, адже у будь-яких  чотирьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково містяться  клітинки з числами 2 і 1. Наприклад; 1+2+1+1=5.
e)    Не менше, ніж в семи клітинках, бо у будь-яких  трьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково міститься  клітинка з числом 2. Тому добуток чисел у послідовних трьох клітинках рівний 2. Найбільший добуток  в семи клітинках рівний 8.
f)     112 млн. 112 тис. 112.
g)    Ні, вони можуть бути рівні 2, 4, 8. За принципом Діріхле серед семи клітинок знайдеться принаймні одна клітинка з цифрою 2.
h)   Три клітинки з числами 2. Найбільший добуток рівний 6.
i)      Так, адже 1∙1∙2 = 2∙1∙1= 1∙2∙1.
До задачі 3
j)      Так як 6 = 1+2+3=1∙2∙3,  тоді для розташування  цих чисел в перших трьох клітинках стрічки існує 6 способів, а всі інші шість клітинок заповнюються однозначно відповідно до умови задачі. Існує три способи заповнення стрічки.
k)   9:3=3 клітинки.
l)      так, адже у будь-яких трьох послідовних клітинках  рівна 6, тому у шести послідовних клітинках  6 + 6 = 8.
m) 7 клітинок, адже у будь-яких  трьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково містяться  клітинки з числами 3, 2 і 1.
n)   В восьми клітинках, бо у будь-яких  трьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково міститься  клітинка з числом 1. Тому добуток чисел у послідовних восьми клітинках рівний 216. Найбільший добуток  в цих клітинках рівний 216.
o)   123 млн. 123 тис. 123.
p)   Ні, вони можуть бути рівні 36, 72, 108. За принципом Діріхле серед семи клітинок стрічки знайдеться принаймні три клітинки з числами або 2, або 3, або 1.
q)   Три клітинки з числами 6. Найбільший добуток рівний 216.
r)     Так, адже 1∙3∙2 = 2∙3∙1= 3∙2∙1 = 3∙1∙2 = 2∙1∙3= 1∙3∙2, цей добуток рівний 36.


Немає коментарів:

Дописати коментар