10 клас. Компетентнісні задачі.

Алгебра

10  клас.

    10.1 Уявіть собі, що вам дали можливість дослідити коливальний процес маятника, що описується функцієї  l(x)= sinx + cosx.  Цікаво, а при яких значеннях змінної  х маятник долає рівно 1( одиницю довжини ) відстані від початкового положення?  Розгляньте розв’язування рівняння  sinx + cosx = 1, різними способами.

Спосіб розв’язування однорідних рівнянь:

Однорідним називають таке тригонометричне рівняння, у якого ліва частина є многочленом відносно тригонометричних функцій, у кожному члені якого сума показників степенів синуса і косинуса одного і того ж самого аргументу однакова, а права дорівнює нулю.

           Розв’язують однорідне тригонометричне рівняння n-го степені діленням обох частин на cosⁿx≠0.

Тоді дістанемо алгебраїчне рівняння відносно функції тангенса. Якщо рівняння не є однорідним, можна спробувати за допомогою тригонометричних перетворень звести його до однорідного.

Спосіб введення допоміжного аргумента(кута):

Цей спосіб застосовують для розв’язування лінійних тригонометричних рівнянь виду   asinx + bcosx = c,

і полягає він у використанні тригонометричних формул суми або різниці аргументів. Можна скористатися співвідношенням

    asinx + bcosx = (a²+b²)^0,5sin(x + φ), де φ = arctg a/b

III.   Спосіб зведення до однієї тригонометричної функції одного і того ж аргументу.

         При розв’язуванні рівняння цим способом ми використовуємо основні тригонометричні тотожності і виражаємо всі функції, що містяться в рівнянні через одну, а потім розв’язуємо алгебраїчне рівняння відносно даної функції.

  Графічний спосіб:

          Рівняння записують у такому вигляді, щоб ліва і права частини могли бути записані як елементарні функції. Побудувавши в одній системі координат графіки цих функцій, знайдемо розв’язки рівняння як абсциси точок перетину графіків.

Завдання

1)    У чому є недолік способу зведення до однієї змінної? Чи можна за отриманими розв’язками сказати, коли маятник перебуває у точці спокою?

2)    У чому є недолік графічного способу?  Чи можна по графіку прослідкувати, коли маятник перебуває у точці спокою?

3)    У чому є недоліки неграфічних  способів?  Чи можна по графіку прослідкувати локальну поведінку маятника  у точці спокою?

4)    У чому є недолік способу зведення до однієї тригонометричної функції одного і того ж аргументу?

5)    У чому є недолік  способу розв’язування однорідних рівнянь?

6)    Якщо у графічному способі використати інші функції, а саме

 у= sin x + cos x  та у = 1, то чи вдається у цьому випадку отримати точні корені рівняння.

7)    Якщо розв’язувати  рівняння sin3x + cos3x = 1, що варто відкоригувати у графічному способі ?

8)    Якщо розв’язувати  рівняння  2sin3x + 2cos3x = 1, що варто відкоригувати у способі зведенні до однорідного рівняння?

9)    Якщо розв’язувати  рівняння  4sin3x + 4cos²3x = 1, що варто замінити у способі зведенні до квадратного рівняння?

10)     Якщо розв’язувати  рівняння  4sin²3x + 4cos²3x = 1, що варто відкоригувати у способі зведенні до однорідного рівняння?

11)    Якщо у графічному способі використати інші функції, а саме

 у= sin x + cos x  та у = 1, то чи вдається у цьому випадку отримати розв’язки для нерівності   sin x + cos x>1

12)     Якщо у графічному способі використати інші функції, а саме

 у= sin x + cos x  та у = 1, то чи вдається у цьому випадку отримати розв’язки для нерівності   sin x + cos x <0