Компетентнісні задачі. 5 частина

1.69 Математичний дивертисмент

На математичному  гуртку організували змагання «Хто швидше і більше розв’яже задач?» за 40 хвилин.

Завдання

1. Батько із сином потрапили в автомобільну катастрофу. Батько по­мер у шпиталі. До сина в палату заходить хірург і говорить, вказуючи на нього: «Це мій син». Чи можуть ці слова бути правдою?

2. Скільки цифр "9" у ряді чисел від 1 до 100?

3. Самотній нічний сторож помер вдень. Чи отримає  він пенсію?

4 .Цеглина важить  один кілограм плюс ще півцеглини. Скільки важить цеглина?

5. Під яким кущем сидить заєць під час дощу?

6. Якщо ви любите граматику, то вас зацікавить питання, як правиль­но сказати "не бачу білий жовток» чи «не бачу білого жовтка"?

7. Дах одного будинку не є симетричним. Один його нахил складає з горизонталлю кут 60 градусів, а інший кут 70 градусів. Припустимо, що півень кладе яйце на гребінь даху. На який бік даху впаде яйце?

8.Припустимо, що  на кордоні США та Канади сталася авіаційна ката­строфа. У який з двох країн повинні бути поховані уцілілі пасажири?

9. За кордон поїхала група туристів із 100 чоловік. 10 із них не знали ні німецької, ні  французької мови. 75 знали німецьку мову. 83 людини знали французьку мову. Скільки туристів володіли двома іноземними мовами?

10. У сім’ї троє дітей. Тоні вдвоє більше років, ніж буде Галі тоді, коли Жені виповниться стільки ж років, скільки Тоні зараз. Хто з них найстар­ший, хто найменший, а  хто середній за віком?

11. На одному заводі працювало троє друзів: слюсар, токар і зварювальник. Їхні прізвища: Ярема, Заполух і Стецюк. У слюсаря немає ні бра­тів, ні сестер. Він — наймолодший з друзів. Стецюк, що одружений на сестрі Яреми, старший від токаря. Назвіть прізвища слюсаря, токаря і зварювальника.

12. Морозенко, Соняк і Покиданець живуть на одній вулиці. Один із них - столяр,  друтий - маляр, а третій - бухгалтер. Недавно маляр хотів попросити свого знайомого столяра зробити щось для своєї квартири, але йому сказали, що столяр працює в будинку бухгал­тера.  Відомо також, що Покиданець ніколи не чув про Соняка. Хто чим займається?           

Відповіді

1. Так, хірург — мати сина.
2. .20.
3. Ні, бо він помер.
4. 2кг.
5. Під мокрим.
6. Жовток не буває білим.
7. Півень не кладе яєць.
8. Пасажирів, які уціліли, не потрібно ховати.
9. 68 чоловік.
10. Найстарша - Тоня, а Галя - наймолодша.
11. Слюсар Заполух, токар Ярема і зварювальний Стецюк.
12. Покиданець - бухгалтер, Морозенко - столяр, Соняк - маляр.

1.70 . Властивості натуральних чисел

Розподілити  сорок тверджень на три групи:

·        перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·        друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·        третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

Твердження:

1)    Усі прості числа починаючи з 7 можна подати у вигляді 6∙n+1 або 6∙n+5.

2)    Сума будь-якої кількості перших непарних чисел натурального ряду рівна квадрату числа доданків.

3)    Парне число можна подати, як суму двох простих чисел.

4)    Непарне число можна подати, як суму трьох простих чисел.

5)    Сума будь-якої кількості послідовних непарних чисел натурального ряду рівна різниці квадратів двох  чисел.

6)    Сума перших n+1 натуральних чисел рівна сумі  n наступних натуральних чисел.

7)    Сума  n перших парних чисел рівна добутку  n(n+1).

8)    Сума  n перших натуральних чисел рівна половині добутку  n(n+1).

9)    Сума квадратів  n перших натуральних чисел рівна квадрату деякого натурального числа.

10)        Сума квадратів  n перших натуральних чисел кратна двом.

11)        Сума квадратів  n перших натуральних чисел кратна трьом.

12)        Сума квадратів  n перших натуральних чисел кратна шести.

13)        Сума кубів  трьох послідовних натуральних чисел рівна кубу натурального числа.

14)        Сума кубів  n(більше двох)  різних натуральних чисел рівна кубу натурального числа.

15)        Сума кубів  n послідовних натуральних чисел рівна різниці квадратів натуральних чисел.

16)        Будь-яке просте число дорівнює добутку своїх цифр в десятковій системі числення.

17)        Якщо число парне, тоді його можна записати, як суму двох його дільників чисел.

18)        Якщо число непарне, то його можна записати як суму  парного і непарного дільників числа.

19)        Якщо число парне і дорівнює сумі своїх дільників, то воно рівне сумі кубів n перших чисел.

20)        Сума кубів  n послідовних парних чисел рівна подвоєному квадрату  числа  n( n+1) .

21)        Сума кубів  n послідовних непарних чисел рівна квадрату  числа  n²( 2n²+1) .

22)        Сума кубів  n перших натуральних чисел рівна квадрату суми цих чисел.

23)        Кожне натуральне число рівне сумі квадратів двох чисел і одного простого числа.

24)        Якщо три числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді добуток цих чисел парний.

25)        Якщо три послідовні числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді квадрат  меншого числа рівний  сумі двох інших.

26)        Якщо три послідовні числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді квадрат  середнього числа рівний  подвоєній сумі двох інших.

27)        Якщо три взаємно прості числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді квадрат  меншого числа рівний  сумі двох інших.

28)        Якщо три взаємно прості числа утворюють рівність n² + m² = k², тоді добуток трьох чисел ділиться на 60.

29)        Якщо два взаємно прості числа n i m  утворюють три числа n² + m² , 2mn, n² - m² , тоді  квадрат  більшого числа рівний  сумі квадратів двох інших.

30)        Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n²-1)/2 , (n² + 1)/2 , тоді  квадрат  більшого числа рівний  сумі квадратів двох інших.

31)        Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n²-1)/2 , (n² + 1)/2 , тоді  квадрат  середнього числа рівний подвоєній сумі квадратів двох інших.

32)        Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n²-1)/2 , (n² + 1)/2 , тоді  куб  найбільшого числа рівний сумі квадратів двох інших.

33)        Якщо три взаємно прості числа виду n,  (n/2)²-1 , (n/2)²+1, тоді  куб  найбільшого числа рівний сумі квадратів деяких двох чисел.

34)        Якщо чотири числа  утворюють рівність n³ + m³ + k³= p³, тоді ці натуральні числа послідовні.

35)        Якщо число виду 4∙k+1, то його можна подати, як  n² + m².

36)        Якщо складене число розкладається на прості числа виду 4k+1, то його можна подати, як  n² + m².

37)        Якщо число має вид 4∙k+3, то його не можна подати, як  n².

38)        Якщо число р — просте, тоді число виду а^р - а ділиться на р.

39)        Будь-який квадрат натурального числа  n  можна подати як суму двох доданків, де перший доданок — це сума  n перших натуральних чисел, а другий — це сума  n-1 перших натуральний чисел.

40)        Будь-який квадрат непарного числа  n  можна подати у вигляді 4k+1.

1.71 Властивості  НСК(m, n) та НСД(а, b)

Розподілити  20 тверджень на три групи:

·        перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·        друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·        третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

Твердження:

1)    Усі натуральні числа, які діляться на 30 можна подати у вигляді 2∙15n або 2∙3∙5n, де  n  − натуральне число.

2)    Найменше натуральне число т, яке ділиться на кожне з чисел а і b без остачі, тобто найменше спільне кратне цих чисел (НСК(а, b)), завжди можна знайти таким чином: розкласти кожне число на прості множники, потім, взявши розклад одного із них, помножити його на відсутні прості множники,  які зустрічаються в розкладі другого числа.

3)    Найбільше натуральне число т, на  яке ділиться на кожне з чисел а і b без остачі, тобто найбільший спільний дільник цих чисел (НСД(а, b)), завжди можна знайти таким чином: розкласти кожне число на прості множники, потім, виписати з двох  розкладів спільні множники, до речі,  кожний зі спільних простих множників треба взяти з найменшим показником, який зустрічається в обох розкладах, і помножити.

4)    Добуток чисел а і b дорівнює добуткові їх найбільшого спільного дільника на найменше спільне кратне аb= НСК(а, b)∙НСД(а, b)

5)    Найменше спільне кратне двох чисел дорівнює 3024, а їх найбільший спільний дільник 4. Друге число має лише три дільники, якщо перше дорівнює 28.

6)    Найменше спільне кратне трьох чисел дорівнює 5544.  Існує декілька третіх чисел, якщо перші два дорівнюють 72 і 168.

7)    Два перші числа дорівнюють 165 і 156. Множину третіх чисел складають тільки непарні числа, якщо найменше спільне кратне всіх трьох чисел дорівнює 25740.

8)    Найменше натуральне число т, яке ділиться на кожне з чисел а і b, тобто НСК(а, b) ділиться на їхній найбільший спільний дільник, тобто ділиться на НСД(а, b).

9)    Якщо т ділиться на кожне з двох чисел а і b, то т ділиться і на їх найменше спільне кратне, тобто НСК(а, b).

10)                      Найменше спільне кратне трьох чисел n-1, n, n+1 (де n — натуральне число) це добуток цих чисел.

11)    Частки від ділення найменшого спільного кратного  на дані числа є взаємно прості.

12)    Якщо число 3х+2у ділиться на 19, де х і у натуральні числа, то 8х-у не ділиться на 19.

13) Найменше спільне кратне двох чисел 5040, а їх найбільший  спільний дільник 48. Множину таких пар чисел складають лише парні числа.

14)                      Найменше спільне кратне двох чисел 462, а їх найбільший спільний дільник 21. Множину таких пар чисел складають лише непарні числа.

15) Всього існує дві  пари чисел, для яких  добуток дорівнює 840, а їх найбільший спільний дільник дорівнює 2.

16) Сума двох чисел 168, а їх найбільший спільний дільник 24. Множину таких пар чисел складають лише числа різної парності, тобто одне з них парне число, а друге – непарне число.

17) Сума двох чисел 667, а їх найбільший спільний дільник 29. Множину таких пар чисел складають лише числа різної парності, тобто одне з них парне число, а друге – непарне число.

18)                      З космодрому одночасно запустили три супутники Землі. Перший має період обертання 1 год. 20 хв., другий — 1 год. 45 хв., а третій — 2 год. 20 хв. Тоді через 28 год − це найближчий час, коли вони знову будуть всі три разом над космодромом?

19)                      Три автобуси відправляються з автостанції о 7 год. ранку в трьох напрямах і повертаються: перший через 2 год. 15 хв. і знову відправляється через 15 хв.; другий — через 1  год. 45 хв. і знову відправляється через 15 хв.; третій — через 1  год. 30 хв. і знову відправляється через 10 хв. Тоді 12.00 −  це найближчий час, коли вони знову одночасно виїдуть з автостанції?

20)                      У деякий час планети Венера і Меркурій займають певне положення на небі відносно зір. Через 19800 діб обидві планети будуть знову в тому ж положенні відносно нерухомих зір, якщо Меркурій обертається навколо Сонця за 88 діб, а Венера — за 225 діб?

1.72  Властивості  НСД(а, b)

Розподілити  16 тверджень на три групи:

·        перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·        друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·        третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

Твердження:

1)    Якщо шестицифрове число не містить рівних цифр, тоді добуток цифр є число парне.

2)    В таблиці 3х3 у верхніх кутових клітинках зліва напрво поставили цифри 1 та 2. Розмістити в порожніх клітинках таблиці числа від 3 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було - найбільш можливим. В середній клітинці не може стояти цифра 9.

3)    Михайло записує число. Він використовує лише цифри 1,2,3,4,5 і слідує таким правилам: 1) будь-які дві сусідні цифри даного числа відрізняються між собою; 2)всі двоцифрові числа , що складаються з любих двох сусідніх цифр даного числа записаних у порядку   зліва - направо, відрізняються між собою. Наприклад, число 123134252 задовольняє умовам , а число 12315412 - ні, гак як число 12 присутнє два рази в записі числа. 25 цифр − це максимальна кількість цифр, з якого може складатися запис числа Михайло.

4)    На дошці написано число 1. Кожну секунду до числа на дошці додають суму його цифр. Через деякий час на дошці з’явитися число 126.

5)    Якщо а:b , де a та b натуральні числа, то  найбільший спільний дільник а і b(скорочено записують  НСД(а, b))  не дорівнює b, тобто  НСД(а, b)≠b.

6)    НСД(х, у)=НСД(х+у, у)=НСД(х+у, х).

7)    НСД (х, у)=НСД(х-у, у)=НСД(х-у, х).

8)    НСД (х, у)=НСД(7х+3у, 8у)=НСД(7х+3у, 5х).

9)          Якщо а:b(ост. к), тобто а=b∙m+k, де a , b, m, к натуральні числа, то НСД(а, b)= НСД(а, к)

10)    Якщо а, с, к довільні натуральні числа, то НСД(а, с)=НСД(а∙к, с∙к)

11)    Якщо m:n,  k:n  і  mx+ky = n,  де  x, y, n, m, k – натуральні числа, то найбільший спільний дільник чисел m, k дорівнює n,  тобто   НСД(m, k) = n.

12)    Частки від ділення натуральних чисел m і n на їх найбільший дільник k  (тобто діляться на їх  НСД(m, n)=k),  є два взаємно прості числа, тобто НСД(m:k, n:k) = 1.

13)    Якщо n, m, k – натуральні числа, то найбільший спільний дільник чисел m∙n  та  k∙n дорівнює НСД(m, k)∙n, тобто завжди виконується рівність НСД(m∙n, k∙n) = НСД(m, k) ∙ n.

14) Якщо НСД(m, n)=1, тоді НСД(mс, n) ≠ НСД(n, с),  де  с, m, k – натуральні числа.

15) Якщо НСД(m, n)=1 і   mс:n, тоді  с:n, де  c, m, k – натуральні числа.

16) Якщо НСД(m, n)=1 і  с:m, с:n, тоді  с: (n∙ m), де  c, m, k – натуральні числа.

1.73 Розклад числа на множники

Розподілити  двадцять п’ять тверджень на три групи:

·        перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·        друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·        третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

1)    Твердження:

2)    Добуток (n+5)(n+10) є парне число при будь-якому непарному n.

3)    При будь-яких простих а і b добуток аb(а+b) - непарне число.

4)    Добуток чотирьох послідовних натуральних чисел ділиться на 24.

5)    Добуток п'яти послідовних натуральних чисел ділиться на 120.

6)    Не існує непарне чотиризначне число, дві середні цифри котрого утворюють число, що в 5 разів більше числа тисяч і в 3 рази більше числа одиниць.

7)    Існує 3 трицифрові числа, які при закреслюванні середньої цифри зменшуються в7 разів.

8)    Існує 2 трицифрові числа, які при закреслюванні середньої цифри зменшуються  в9 разів.

9)    При діленні деякого числа на 13 і на 15 отримали однакові частки, але в першому випадку отримали остачу   8, а в другому   − остачі не було. Не існує такого числа.

10)    Сума дванадцяти послідовних натуральних чисел не ділиться на 12.

11)    До числа 15 припишіть зліва та справа по одній цифрі так, щоб отримане число ділилось на 15. Не існує таких чисел.

12)    Існує  найменше натуральне число,  що ділиться  на  36,  в запису якого зустрічаються   всі  цифри.

13)    15 нулями закінчується добуток  1∙2∙ 3∙ 4∙   ... ∙98∙99∙100.

14)    На складі є цвяхи в ящиках по 16 кг, 17 кг, 40 кг. Працівник складу може відпустити 100 кг цвяхів, не відкриваючи ящики.

15)    Не існує двоцифрове число, котре зменшиться в 14 разів, якщо закреслити цифру одиниць в запису цього числа.

16)    Два двоцифрових числа закінчуються цифрою 6. Їх добуток завжди закінчується числом 36?

17)    Ребус : БИР + БИР + БИР + БИР = ДОРД має два розв’язки.

18)    Якщо до двозначного числа приписати справа цифру 0, то це число збільшиться на 252. Таке число тільки одне.

19)    Якщо в деякому трицифровому числі, що закінчується нулем, відкинути цей 0, то число зменшиться на 351. Існує таких три числа.

20)    Сума двох чисел дорівнює 180. Частка від ділення більшого на менше дорівнює 5. Такого числа не існує.

21)    У виразі 1*2*3*4*5  замініть зірочки знаками дій множення та додавання. Отримані результати обчислення виразів завжди будуть парні.

22)    В  році було 53 суботи. Тоді субота була 1 січня.

23)    Існує найбільше  число, яке при діленні на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 дає в остачі 1.

24)    Два числа, в яких потроєна сума цих чисел на 8 більша їх подвоєнної різниці, а подвоєна сума цих чисел на 6 більша їх різниці. Існує дві пари таких чисел.

25)    Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 12, а різниця числа одиниць і числа
десятків в цьому числі в 12 разів менше самого числа. Існує п’ять таких чисел.

26)    Між цифрами числа 562101012 поставте знаки дій - множення , додавання, віднімання і можливо дужки, все в будь-якій кількості так, щоб результат був 120.

    1.74  Розклад числа на суму декількох доданків

Розподілити  двадцять п’ять тверджень на три групи:

·        перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·        друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·        третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

Твердження:

1)    1, 3, 5 остачі при діленні на 6 може мати просте число, більше, ніж 5.

2)    к = 5n + 3 − це формула натуральних чисел, які не є квадратами чисел.

3)    Завжди парні числа  є наступними для чисел n, 3n - 3, 2n+1, 2n -1.

4)    Завжди  ділиться натуральне число n(n+1) на 2.

5)    На 24 завжди ділиться добуток чотирьох послідовних натуральних чисел (n -1)n(n+1)(n+2).

6)    Добуток трьох непарних послідовних чисел  завжди ділиться на 3.

7)    Сума чотирьох послідовних парних чисел ділиться на два складених числа..

8)    Сума п'яти послідовних натуральних чисел ділиться на два простих числа.

9)    Сума семи парних послідовних чисел не ділиться на 4.

10)        Сума шести послідовних непарних чисел не ділиться на 8.

11)        Сума чотирьох послідовних натуральних чисел може бути простим числом.

12)        Добуток трьох послідовних непарних чисел, менше з яких є простим числом, не ділиться на 15.

13)        Добуток трьох послідовних складених чисел, менше з яких є парним числом, ділиться на 24.

14) Число 200 можна двома способами записати як суму таких двох натуральних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге — на 13.

15)        Розкласти число 800 можна трьома способами як суму таких двох натуральних чисел, щоб одне з них ділилось на 17, а друге — на 23.

16)        На дошці написано числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. До­зволяється стерти будь-які два числа а і b і замість них написати чис­ло (a + b - 1). Парне число може залишитись на дошці після 19 таких операцій?

17) 35 способами число 4 можна подати у вигляді суми трьох цілих чисел, якщо варіанти, які відрізняються порядком доданків, вважати різними, і серед доданків можуть бути нулі?

18)        Розкласти число 170 можна двома способами як суму таких двох натуральних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге − на 13.

19)        Для настилання підлоги завширшки 6 м є дошки завширшки 17 см і 15 см. Треба взяти 23 дощок одного і 15 другого розмірів, якщо вважати, що довжина кімнати і довжина дощок однакові, і дошки кладуться вздовж кімнати?

20)        На трасі 800 м треба прокласти газові труби. На складі є труби довжиною 11 м і 13 м. най економніше(якнайменше швів при зварюванні труб) використовуються ці труби, якщо взяти  3 одного та 59 другого розмірів.

21)        26 осіб витратили разом 88 монет, причому кожен чоловік витратив 6, жінка — 4, а дівчина — 2 монети. Тоді маємо парне число було і чоловіків, і жінок, і дівчат.

22)        Із 11 натуральних чисел завжди можна вибрати два числа, різниця яких кратна 10.

23)        Існує 14  трицифрових чисел, у яких остання цифра дорівнює добутку двох перших.

24)        У сумі а₁ + а₂ + а₃ + а₄  доданок: а₁  ділиться на 3, а₂ ділиться на 3, а₃ ділиться на 3, а а₄ не ділиться на 3. Не ділиться а₁ + а₂ + а₃ + а₄  на 3.

25)        Потрібно 7 формул для позначення усіх натуральних чисел, які  при діленні на 7 дають різні остачі.

1.75  Властивості арифметичних дій

Розподілити  31 твердження на три групи:

·        перша група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;

·        друга група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;

·        третя група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.

Твердження:

1)    Із будь-яких  трьох послідовних непарних, починаючи з 7, одне з них ділиться на 3.

2)    Існують чотири прості числа  m, n, k, p, які задовольняють вираз m + n = p – n = k.

3)    Існує  таке натуральне число m,   що вираз m² + 1 ділиться на m без остачі.

4)    Добуток різниці та суми  двох натуральних  чисел 2m і 2n  є складеним  числом, де m ≥ n.

5)    Сума добутку та різниці  двох натуральних  чисел 3m і 2n  є простим  числом, де m ≠ n.

6)    Сума частки та добутку двох взаємно простих  чисел 2m і 2n+1  є  простим  числом, де m ≠ n.

7)    Якщо два прості числа n ≥ m, то існує єдине просте число x, яке задовольняє рівняння m + х = n,.

8)    Добуток  двох простих чисел є простим числом.

9)    В  множині складених чисел завжди виконуються дві дії: додавання, та множення. Тобто, результати цих дій є складеними числами.

10)    Будь-яке складене число можна представити як суму його дільників.

11)    Нуль ділиться на будь-яке натуральне число, тобто 0 = b∙0.

12)    Якщо m ділиться на b, а b ділиться на n , то m ділиться на n, де всі числа є простими.

13)    Якщо кожний доданок суми простих чисел ділиться на  просте число m, то сума поділиться на 2m без остачі.

14)    Якщо кожне число різниці двох складених чисел ділиться на просте m, то різниця завжди поділиться на m без остачі.

15)    Трицифрове число, записане однаковими цифрами, не ділиться на 37.

16)    Тризначне число має дві однакові останні цифри, а сума його цифр ділиться на 7, то і саме число ділиться на 7.

17)    При будь-якому натуральному  m число m⁵ − m ділиться на 30.

18)    При будь-якому  натуральному  m  числа 5m+3, 7m-3 і 3m+2 не є точним квадратом числа.

19)    При будь-якому  натуральному m число m³+5m не ділиться на 6.

20)    При будь-якому натуральному  m число m²+m+2 є непарним.

21)    При непарних натуральних числах   n і m вираз n²-m² ділиться на 8.

22)    Трицифрове число, яке не ділиться на  7, 11 і 13 послідовно записали двічі і одержали шестицифрове число. Тоді шестицифрове число завжди ділиться на 7, 11 і 13.

23)    Якщо число n + 4m ділиться на 13, де n і m натуральні числа, то і число 10n+m не ділиться на 13.

24)    Якщо число 2т+5n ділиться на 17, де т і nнатуральні числа, то 8т+3n ділиться на 17.

25)    Якщо число 3n+2m ділиться на 19, де n і m натуральні числа, то 8n-m ділиться на 19.

26)    Шестизначне число m = а₅10⁵+а₄1О⁴+а₃10³+а_г10^г+а_І10+а₀,  у якого  [(а_о+а_г+а₄)-(а₁+а₃+а₅)] : 11, то m: 11.

27)    Шестизначне число m = а₅10⁵+а₄1О⁴+а₃10³+а_г10^г+а_І10+а₀,  у якого  [(а_о+3а_]+2а₂)-(а₃+3а₄+ +2а₅)]:7, то m: 7.

28)    Різниця шестизначного числа і числа, записаного тими ж самими цифрами в оберненому порядку, не ділиться на 9.

29)    Якщо восьмицифрове число не містить рівних цифр, тоді добуток цифр ділиться на три.

30)    Якщо різниця будь-яких сусідніх цифр п’ятицифрового числа рівна одиниці, то добуток цифр ділиться на 8.

31)    Якщо десятицифрове число не містить рівних цифр, тоді добуток цифр ділиться на 27.

1.76  Розклад  числа на прості множники

Розподілити   40 тверджень на три групи:

·        до першої групи входять твердження, які завжди правильні;

·        до другої групи входять твердження, які завжди неправильні;

·        до третьої групи входять твердження, які не входять до перших двох груп.

Твердження:

1)    Серед даних чисел є ті,  які мають два простих дільники: 65, 89.

2)    Cеред даних  чисел є  прості: 41, 61, 93, 101, 111, 121.

3)    Cеред даних  розкладів на прості множники  допущено помилку:  44 = 2·2·11,   244 = 61·2·2.

4)    Cеред даних чисел всі розкладаються на рівну кількість простих множників: 48, 72, 84.

5)    Числа 6256,  1026,  56043 є скла­деними.

6)    Не існує  простих парних числа, а всі прості числа непарні.

7)    Не існує простих трицифрових чисел, які містять тільки одну цифру.

8)    Існує  20 дільників у числа 2³∙3⁴.

9)    Не існує  10 дільників у числа 2²∙3³.

10)    Існує  6 дільників у числа 2⁶.

11)    Існує найменше і найбільше двоцифрове число, яке ділиться на 2 і 3 та  містить різні цифри.

12)    Існує  4 простих дільників у числа 2³∙3⁴∙5⁷∙7³∙11.  Кожне число, яке ді­литься на 3 без остачі, ділиться на 9.

13)    Кожне число, яке ді­литься на 81 без остачі, ділиться на 9.

14)    Кожне число, яке ді­литься на 12 без остачі, ділиться на 4.

15)    Кожне число, яке ді­литься на 32 без остачі, ділиться на 8.

16)    Кожне число, яке ді­литься на 27 без остачі, ділиться на 9.

17)    Кожне число, яке ді­литься на 36 без остачі, ділиться на 24.

18)    Кожне число, яке ді­литься на 72 без остачі, ділиться на 18.

19)    Кожне число, яке ді­литься на 24 без остачі, ділиться на 16.

20)    Кожне число, яке ді­литься на 98 без остачі, ділиться на 49.

21)    Кожне число, яке ді­литься на 65 без остачі, ділиться на 13.

22)    Існує найменше і найбільше двоцифрове число, яке ділиться на 2 і 3.

23)    Існує найменше і найбільше трицифрове число, яке ділиться  на 3, 5, 2

24)    Існує найменше і найбільше трицифрове число, яке ділиться  на 3, 5, 2  і містить цифри 1, 2 і 3.

25)    Існує найменше і найбільше трицифрове число, яке ділиться на 7, 11 і 13.

26)    Існує найменше і найбільше двоцифрове число, яке ділиться на 2 і 3 та  містить різні цифри.

27)    Існує  4 простих числа, які можна записати, використовуючи кожний раз дві цифри:  1, 3, 7.

28)    Існує 8 двоцифрових простих чисел, для запису яких використовуються тільки цифри 1, 2, 3, 4.

29)    Сума чотирьох послідовних нату­ральних чисел може бути простим числом.

30)    Існує 3 простих числа,  для запису яких використовуються формула к = n² + n,    де n – натуральне число.

31)    Числа, записані трьома однаковими цифрами, діляться на 3 і на 37.

32)    Числа виду , записані двома цифрами  m, k, завжди діляться на 101  і на 13.

33)    Числа виду , записані трьома цифрами n, m, k, завжди діляться на 7, на 11  і на 13.

34)    Для запису послідовності 1, 3,  7, 15, 31, 63, 127, 255, … використовують формулу  к = 2^{n + 1} – 1, де n – натуральне число.

35)    Серед трицифрових чисел від 1 до 100 існує 10 чисел, які діляться на 4, але не містять цифри 4 в своєму запису.

36)    Щоб знайти суму чисел першої сотні, які діляться на 3, достатньо перше число додати до останнього, суму помножити на кількість чисел, а добуток поділити на 2.

37)    Серед чисел виду 3m + 1  існує лише два числа, які діляться на 5, де m – натуральне число.

38)    Числа виду , записані чотирма цифрами n, m, k, p  завжди діляться на 1001.

39)    Числа виду , записані трьома цифрами n, m, k, не завжди діляться на  .

Існує  найменше натуральне трицифрове  число, яке, складається з різних цифр і ділиться на 9 без остачі.