Компетентнісні задачі. 3 частина

1.88 Періодичні функції

Цікаві факти. Якщо періодична функція має період Т, то вона має нескінчену множину періодів:

{…, - n∙T, …, -4∙T, -3∙T, - 2∙T,  -T,   T,  2∙T,  3∙T,  4∙T , … }.

Означення. Найменший з додатних періодів, якщо він існує, називається основним періодом періодичної функції.

Наслідок. Якщо функція має основний період, то будь-який інший період кратний до основного.

Властивість 2. Якщо число Т – ненульовий період функції f(х), то функція , що являється лінійною комбінацією цією функції із лінійним комбінацією аргумента

у = А f(mх+n)+В 

де А , m, n, В – постійні дійсні числа.

також є періодичною і її період дорівнює частці T:| m|, m ≠ 0.

Властивість 3. Якщо число Т –період функції f(х), то складена функція

 у = g( f(х)) також є періодичною і її період дорівнює T, але він можливо і не найменший за абсолютною величиною.

Властивість 4.  Графік періодичної функції  з періодом Т (Т>0)/ можна розрізати на довільну кількість рівних фігур.

Щоб на графіку періодичної функції знайти рівні фігури варто спочатку дослідити і побудувати графік періодичної функції (цей графік є наочним зображенням деякого циклічного процесу  чи періодичного явища) на проміжку, довжина якого дорівнює найменшому додатному періоду функції, а потім  виконати паралельне перенесення  цієї фігури уздовж осі Ох отриманого графіка на відстань n∙T ліворуч і праворуч.

Властивість 5.  Період  алгебраїчної суми періодичних функцій  з спільними періодами дорівнює найменшому спільному кратному періодів усіх доданків, за виключенням подібних членів, сума яких після зведення рівна нулю.

Властивість 6.  Періодичні функції не мають похилих та горизонтальних асимптот.

Зауваження1. Виявляється, що якщо у двох періодичних функцій немає спільних періодів, то їх сума, різниця, добуток можуть бути неперіодичними!

Наприклад: у = sin(px)  + sin3x;  у = sin(px)∙sin3x;

Зауваження2.   Виявляється може бути періодичною функція, що є сумою періодичної і неперіодичної функції.

Наприклад, у = sin(px)  + sin3x  + (- sin3x);   

Зауваження3. Для доведення неперіодичності  функції досить показати, що вона неперіодично повторює яку-небудь властивість даної функції.

Завдання

Яка функція являється періодичною?

а)функція ант’є;    б) функція мантиса;     в) квадратична;  г) лінійна.

Яке число є основним періодом  періодичної функції?

а) найменший із усіх періодів;

б) найбільший із усіх періодів;

в) найбільший за абсолютною величиною; 

г) найменший за абсолютною величиною.

Чи може періодична функція мати тільки один період?

а)може, тільки нуль;     б) не обов’язково;     в) не може;  г) а)може, тільки  не нуль.    

Чи вірно, що сума двох періодичних функцій завжди періодична?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Як знайти період  Т  різниці двох періодичних функцій  f₁(x) -  f₂(x)?

            а) Т = НСК(Т₁; Т₂);   б) Т = НСД(Т₁; Т₂);   в) Т = mах(Т₁; Т₂);    г) Т = min(Т₁; Т₂).

Чи вірно, що добуток двох періодичних функцій завжди періодична функція?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Як знайти період добутку двох різних періодичних функцій з однаковими основними періодами f₁(x) ∙f₂(x)?

   а) Т = НСД(Т₁; Т₂);   б) Т = Т₁=Т₂;   в) Т = mах(Т₁: Т₂ ;  Т₁∙ Т₂);    г) Т = min(Т₁: Т₂ ;  Т₁∙ Т₂ ).

Чи може сума неперіодичних функцій бути періодичною функцією?

а) це завжди періодична; б) це ніколи неперіодична;  в) інколи може.

Відомо, що N(x) – неперіодична функція,  а  Р(x) - періодична функція. Чи вірно, що складена функція  N(Р(x) ) -  періодична?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що N(x) – неперіодична функція,  а  Р(x) - періодична функція. Чи вірно, що складена функція  Р(N(x) ) -  періодична?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що S(x) – періодична функція,  а  Р(x) - періодична функція. Чи вірно, що функція  A∙S(x)  + B∙P(x)  + C∙Р(x) ∙S(x)     -  періодична ( А, В, С – ненульові, дійсні числа)?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

  Відомо, що Р(x) – періодична функція. Чи вірно, що функція

           | N(x)|   = max{ -1∙Р(x); Р(x) }  –   періодична?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

        14.  Чи вірно, що періодичні функції не мають похилих та горизонтальних асимптот?

а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що Р(x) – періодична функція. Чи вірно, що функція

           | N(x)|   = Р(x + А)  –   періодична (А, В, С – ненульові, дійсні)?

 а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що Р(x) – періодична функція. Чи вірно, що функція

           | N(x)|   = А∙Р(x) }  –   періодична (А, В, С – ненульові, дійсні)?

 а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що Р(x) – періодична функція. Чи вірно, що функція

           | N(x)|   = А∙Р ^к (x +А) }  –   періодична (А, к– ненульове дійсне)?

 а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

Відомо, що Р(x) – періодична функція. Чи вірно, що функція

           | N(x)|   = А∙Р (x ^к +А) }  –   періодична (А, к– ненульове дійсне)?

 а) так, вірно завжди;   б) не завжди вірно;          в) не вірно.

1.89 Оптимальні  розміри фігур  

Оленка спекла на день народження тата великий торт у формі прямої трикутної призми, в основі якої лежить прямокутний  трикутник.   Найдовше  ребро трикутного торта дорівнює 38 см, а висота торта  8 см.  Якою має бути найбільша площа нижньої  основи такого  трикутного торта? Який шматок  торта отримає кожний учасник(їх рівно 38 осіб)  торжества, якщо під час торжества тато Олени  розрізає їх на 38 рівних частинок, при цьому  сім учасникам торжества солодке їсти не бажано і вони відмовилися від своє частини, а інші учасники з’їли увесь трикутний торт рівними шматками.

Завдання

1)    Серед усіх тортів у формі прямої трикутної призми  прямокутного трикутника з даною площею  верхньої грані S кв. од.  знайдіть той, що має найменшу суму  довжин усіх 9  ребер торта, якщо висота торта дорівнює р од. довжини, а верхня та нижні грані торта рівні? 

2)    Серед усіх тортів у формі прямої трикутної призми з основою рівнобедреного  трикутника з даною площею  верхньої грані S кв. од. і спільною основою рівнобедреного трикутника  знайдіть той, що має найменшу суму  довжин усіх 9  ребер торта, якщо висота торта дорівнює р од. довжини, а верхня та нижні грані торта рівні? 

3)    У круговий сегмент радіуса R од. довжини та  висотою р од. довжини вписати трикутник найбільшої площі.

4)    Серед усіх трикутників із сторонами а та с знайти трикутник найбільшої площі.

5)    Серед усіх трикутників з однаковою площею знайдіть трикутник найменшого периметра.

6)    Який паралелограм із сторонами а та с має найбільшу площу? Знайти цю площу.

7)    Серед усіх прямокутних трикутників з даною висотою h, опущеною на гіпотенузу, знайти той, що має найменшу площу.

8)    Серед усіх прямокутників даного периметра р знайти прямокутник, площа якого найбільша.

9)    При якому дійсному значенні а сума  квадратів коренів  рівняння

х²-ах+а²-3а-2=0 буде найбільшою?

10)        У кожний трикутник з площею S вписано квадрат так, що дві його основи лежать на основі, а дві іші на бічних сторонах. Знайти трикутник, для якого сторона вписаного квадрата найбільша.

11)        Серед усіх трикутників, описаних навколо даного кола, знайти трикутник, що має найменший добуток висот трикутника.

1.90 Нерівності для експоненти

Якось Михайлику випало під час математичного бою порівнювати числа, які після коми мають безліч знаків, а саме  йому не вдалося одразу поставити правильний знак нерівності у завданні: Як число більше p^e  та e^p?

Завдання

1)    Довести, що х+1 ≤ e^x, якщо x- дійсне число;  e»2,718281828459…..

2)    Довести, що х²+1 ≤ e^x, якщо x- дійсне число, x>-1; e»2,718281828459…..

3)    Довести, що x^e < e^x, якщо x- дійсне число.

4)    Довести, що x³+1 <e^x, якщо x- дійсне число, x<2; e»2,718281828459…..

5)    Довести, що e^x < x⁴, якщо x- дійсне число, |x|>2; e»2,718281828459…..

6)    Довести, що ln(x)-x<0, якщо x- дійсне число, x>0.

7)    Довести, що p^e <e^p ,   0,6815<e^p  -  p^e<0,6816; якщо  e»2,718281828459….. ; p»3,1415926535…

1.91  Кількість  n-цифрових розв’язків  

Павло вичитав в Інтернеті про  знамените рівняння Ферма в цілих числах. Тому вирішив розпочати  досліджувати простіше діофантове  рівняння     k^p  = n^m, де k, p, n, m - цифри десяткової системи, окрім нуля та одиниці та тривіального розв’язку з усіма однаковими цифрами (n, n, n, n). Павло вирішив розв’язок записати як четвірку: (k, p, n, m). 

Наприклад: Тривіальні рівності на  множині цифр десяткової системи:

  р^p  = р^р ,  1^p  = 1^р , 1^т  = 1^р , 0^т  = 0^р , (n^m)^k  = (n^k)^m  ,   n¹  = n¹

729=3⁶=9³,  (3, 6, 9, 3).       64=2⁶=4³,  (2, 6, 4, 3).     16 =2⁴=4²,  (2, 4, 4, 2). 

256=2⁸ =4⁴,  (2, 4, 4, 4).    6561=3⁸=9⁴,  (3, 8,  9, 4).     81=3⁴=9²,  (3, 4, 9, 2).       

Завдання  на дослідження

1)    Чи вірно, що 2*5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

9^m º g (mod 10ⁿ)?

2)    Чи вірно, що 4*5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

8^m º g (mod 10ⁿ)7

3)    Чи вірно, що 4*5^n-2– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

7^m º g (mod 10ⁿ)?

4)    Чи вірно, що 5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

6^m º g (mod 10ⁿ). 

5)    Чи вірно, що 2^n-2– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

5^m º g (mod 10ⁿ)?

6)    Чи вірно, що 2*5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

4^m º g (mod 10ⁿ)?

7)    Чи вірно, що 4*5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

3^m º g (mod 10ⁿ)?

8)    Чи вірно, що 4*5^n-1– це кількість  n-цифрових значень змінної  g  в  рівнянні

2^m º g (mod 10ⁿ)?

1.92 Нерівності для рядів чисел

Віталій  досліджує раціональні вирази та дії над ними. Знаменники в його раціональних виразах,  як правило,  приймають натуральні значення. Для великих сум він старається знайти оцінки зліва та оцінки справа. Допоможіть йому не тільки словом, але і своєю кмітливістю.

Завдання.

1)    Чи вірно, що 5/6<1/n+1 +1/n+2+ 1/n+3+…+1/3n<4/3?

2)    Чи вірно, що 1/2×3/4×5/6×7/8×…×2n-1/2n ≤ 1/(2n+3)0,5, якщо n- натуральне число.

3)    Чи вірно, що 2((n+1)0,5-1)<1+1/20,5 + 1/30,5 +1/40,5 + 1/50,5+…+1/n0,5 <2(n)0,5 , якщо n- натуральне число.

4)    Чи вірно, що 1/32 +1/42 + 1/52+…+1/n2<1-1/n, якщо n- натуральне число.

5)    Чи вірно, що 2ⁿ<xⁿ+x^n-2+x^n-4+…+¹/_x^n-4 +¹/_x^n-2 + ¹/_xⁿ, якщо х>0, n- натуральне число.

6)    Чи вірно, що (2+(2+(2+…+(2)^0,5)^0,5…)^0, )^0,5 ≤ 2cos(p/2ⁿ⁺¹), якщо n- натуральне число?

7)    Чи вірно, що (2+(2+(2+…+(2)^0,5)^0,5…)^0, )^0,5 < 2, якщо n- натуральне число?

1.93  Відношення у трикутнику

Данило здивувався, коли натрапив на красиву задачу, а саме. Нехай існує трикутник АВС, у якого з вершини А та з вершини В проведено два відрізки CC₁ та ВВ₁. Ці відрізки перетинаються у точці О і точкою поділу діляться на частини

АО:ОА₁ = x:y

та

ВО:ОВ₁= p:q.

У якому відношенні ділиться точкою О відрізок СС₁, та у якому відношенні ділиться кожна сторона  трикутника АВС точками А₁, В₁, С₁?

Завдання

1)    Чи вірно, що OC:OC₁= [уp + 2yq + qx]:[xp - yq]?

2)    Чи вірно, що AC₁:C₁B = [q(x + y)]:[(p + q)y]?

3)    Чи вірно, що AB₁ : B₁C = [px - yq]:[py + qy]?

4)    Чи вірно, що BA₁ : A₁C = [xp - yq]:[qx + qy]?

1.94 Властивості кола

Коло на площині, даного радіуса r, у певній вибраній Декартовій системі координат x і y, з центром в точці (a, b) описується стандартним рівнянням кола:  (х - а)² + (у - b)² = R²,  де С(а; b) – центр кола, R – радіус кола.

У полярній системі координат рівняння кола має вигляд  r = R.

Це рівняння випливає з теореми Піфагора, при її застовуванні до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус це гіпотенуза прямокутного трикутника, катети якого x − a та y − b. Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), тоді рівняння спрощується до такого вигляду:

  х² + у² = R²,

Загальне рівняння кола:

ах² + аy² + dx + ey + f = 0,

де  а≠0, d,  e, f  - відомі дійсні числа,  х, у – змінні. Виділенням повних квадратів відносно змінної х та відносно змінної у, це рівняння можна звести до  вигляду:  (х - а)² + (у - b)² = R².

Наприклад для рівняння:  х² + y² + dx + ey + f = 0,

x² + dx + 0,25d² + y²+ ey+ 0,25e² = −f+0,25d²+0,25e²

(x + 0,5d)² + (y + 0,5e)²= −f + 0,25d² + 0,25e²

Параметричне означення кола.

Коло на площині, даного радіуса r, у певній вибраній Декартові системі координат x і y, описується системою рівнянь:

 x = a + r*cost

 y = b + r*sint

де параметр  t ‒ пробігає значення від 0 до  2π.

З геометричної точки зору це кут до осі x, променя проведеного з початку координат до точки (x, y). Якщо записати x та y через параметр t, отримаємо:

 x = a + r(1 ‒ t²)(1 + t²)^-1

 y = b + 2rt(1 + t²)^-1.

Полярні координати рівняння кола.

Рівняння кола в полярних координатах:

   r² ‒ 2rr₀ cos(θ – φ) + r₀² = a²

де a – радіус кола, r₀ ‒ відстань від початку координат до центру кола та φ – кут відкладений проти годинникової стрілки від додатньої осі x до лінії що з’єднує початок координат з центром кола.

Для кола, центр якого знаходиться в початку координат r₀ = 0, це рівняння спрощується до вигляду r = a. Якщо r₀ = a або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуємо рівняння:

  r = 2acos(θ – φ).

В загальному випадку, рівняння можна розв’язати для r:

r = 2r₀cos(θ – φ)+( a² ‒ r₀²sin²(θ – φ))^0,5.

Розвязок із знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.

Завдання

Обгрунтуйте або спростуйте наступні твердження.

1)    До двох кіл, що не перетинаються, можна провести чотири спільні дотичні.

2)    До двох кіл, що дотикаються, можна провести три спільні дотичні.

3)    До двох кіл, що перетинаються, можна провести дві спільні дотичні.

4)    Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і при тому тільки одне.

5)    Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.

6)    Відстань між колами, що не мають спільних точок – це відрізок, що лежить на прямій між двома колами, що проходить через їхні центри.

7)    Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих даної довжини коло обмежує область максимальної площі.

8)    Вписаний кут або дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180°.

9)    Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.

10)        Вписаний кут, що спирається на дугу довжиною в половину кола дорівнює 90°.

11)        Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.

12)        Кут між хордами, що перетинаються дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті і дуги навпроти неї.

13)        Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.

14)        Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.

15)        При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків на які ділиться інша.

16)        Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині ступені точки відносно кола.

17)        Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.

1.95  Оцінювання виразів

Марія досліджує значення для обмежених цілих виразів на заданих умовах. Нехай х, y – додатні дійсні числа,  для яких х+у =1.

Доведіть, що (1+1/х) (1+1/y) ≥9.

Завдання

Перевірте, чи правильно виконане доведення. Виправте недоліки та помилки.

Доведення. Оцінимо  вирази:  ху,  х² + у², х²у², х² +ху+ у²  на найбільше  та найменше значення,  а саме

0≤ х²у² ≤ 0,0625=1/16, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

0≤ х²у² ≤ ху≤0,25=1/4, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

0,5≤ х² + у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x. 

0,75≤ х² + ху + у²≤ 1, якщо  х>0, y>0,  y=1- x.    

Якщо  х>0, y>0,  y=1- x,  тоді

Добуток двох змінних  xу =х(1-х)=х-х²

Квадратична функція  f(x)= х-х² має вершину параболи  (з вітками вниз) в точці (0,5; 0,25), тому  ху=х(1-х)=х-х²≤0,25.

Отже, якщо  х>0, y>0,  х+у =1, то  0<ху≤0,25, при цьому

x = 0,5,  y = 0,5.

Аналогічно доводяться оцінки для інших виразів.

Остаточно, отримаємо

(1+1/х) (1+1/y)=(1+(х+у)+ху)/ху=2/ху+1 ≥2:0,25+1=9.

1.96   Степені і нерівності

Тарасу одразу вдалося осмислити, чому саме такий  знак нерівності

у випадках:  3³⁴>2⁵¹   та   3⁵⁷<2⁹⁵! Кмітливість у перетворенні степенів проявив і його однокласник. Спробуйте і ви проявити кмітливість

Завдання.

1)    Доведіть, що  х + у ≤ 2, якщо х³ + у³ = 2.

2)    Доведіть, що   x^у - y^z+ z^x   ≤   x^x – y^y+ z^z , якщо х ≥ 1,  у ≥ 1, z ≥ 1.

3)    Доведіть, що   (^х/_у) ⁴+(^у/_х) ⁴ + ^х/_у+ ^y/_x ≥2+(^х/_у)²+(^у/_у) ².

4)    Доведіть, що  (1+1/х)^х > x+1/(x^x), якщо  1<x<2.

5)    Доведіть, що  (1+1/х)^х < x+1/(x^x), якщо  0<x<1, х >2.

1.97  Точні квадрати

Яким чином можна отримати точні квадрати із многочленів знає Віктор.

Він запропонував своєму однокласнику розв’язати наступні завдання.

Завдання.

1. Чи вірно, що  рівняння

А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 455 = 0;

Б) (k - 2)(k + 1)k(k - 1) - 24  = 0;

В) (m - 7)(m + 1)(m + 7)(m - 1) + 432 = 0;

Г) (a - 3)(a + 1)(a + 3)(a - 1) - 105 = 0

мають єдиний розв’язок в натуральних числах?

2. Які цілі вирази 

А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 576;

Б) (m- 2)(m + 1)m(m - 1) + 1;

В) (k - 3)(k + 1)(k + 3)(k - 1) + 16;

Г) (p - 4)(p + 2)(p + 4)(p - 2) + 36;

Д) (t - 5)(t + 3)(t + 5)(t - 3) + 64;

Е) (x - 1)(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 3) + 36;

Є) (y - 5)(y + 1)(y + 5)(y - 1) + 144

являються точними квадратами цілих виразів з цілими коефіцієнтами?

3. Невід’ємні цілі числа x, y, z задовольняють рівність

30х + 32у + 33z = 447. Знайдіть  значення виразу х + у + z.

1.98  Спосіб занулення частини рівняння

Данило придумав новий спосіб занулення однієї частини  рівняння у випадках, коли можна розділити змінні по різних частинах рівняння. Аби таке перетворення не стало маніпуляцією з рівнянням, варто перевірити логічність такого перетворення.

Завдання.

Перевірте правильність розв’язання діофантового  рівняння з двома змінними:

1.Розв’язати рівняння х + ух + у² = х³ .

Розв’язання.

У правій частині  рівняння зробимо одну змінну:

 х + ух + у² = х³

 ух + у² = х³ - х

Якщо розглянемо ліву і праву частину, які дві функції на їх проміжках існування та неперервності, то отримаємо:

а(х, у)=р(х) 

Останню рівність  треба розуміти, як рівні між собою функції на проміжках існування та неперервності.

а(х, у)=  р(х)= ух + у²

а(х, у)=  р(х) = х³ - х

Перетворимо однозмінну функцію у двозмінну функцію, зануливши відсутню у виразі змінну:

р(х) =  х³ - х = х³ – х+ 0 = р(х, 0) = р(х, 0у)=  х³ – х+0у

Правило таке: якщо змінна відсутня, то її замінюємо нулем(адже добуток нуля на цю змінну дорівнює нулю).

Таким чином

а(х, у)=р(х)= р(х, 0)=  р(х, 0у)= а(х, 0)= ух + у²=0

Аналогічно,

 а(х, у)=  р(х) = р(х, 0у)= а(х, 0)=  х³ – х=0.

Отже маємо систему двох рівнянь: ух + у²=0;  х³ – х=0.

Друге рівняння з однією змінною:

х³ – х=0;   х(х²-1)=0,  х(х-1)( х+1)=0,    

 х=0,  х=1,  х= -1.

Отримаємо три рівняння з невідомим у:

Якщо х=0, то  у0 + у²=0;   у=0;  отже  (0;0).

Якщо х=1, то  1у + у²=0;  у=0; у=-1; отже (1;0) (1;-1).

Якщо х=-1, то  -1у + у²=0;  у=0; у=1;  отже (-1;0) (-1;1).

Відповідь:  (1;0),  (1;-1),   (-1;0),  (-1;1), (0;0).   

1.99  Від рівняння до функцій

Максим придумав дивний  спосіб узагальнення  рівнянь у випадках, коли можна змінні по різних частинах рівняння заміняти довільними функціями. Аби таке перетворення не стало маніпуляцією з рівнянням, варто перевірити логічність такого перетворення.

Завдання.

Перевірте правильність розв’язання та узагальнення  рівнянь:

1.Розв’язати рівняння: 

a)3^z-2^z=5; якщо z – натуральне число;

б) х ^z - у ^z=р; якщо x, у, z – дійсні додатні числа; р – просте число;

в) f ^z(х)- g ^z(y) = yx,  якщо f:R₊® R₊, g:R₊® R₊, x, у, z – дійсні додатні числа.

  Розв’язання.

а) 3^z-2^z=5 - це  показникове  рівняння.  Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:

(3^0,5z)²-  (2^0,5z)²=(3^0,5z -  2^0,5z )( 3^0,5z +  2^0,5z)

Праву частину рівняння можна записати: 5=1*5=5*1.

Ліва і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому

отримаємо дві системи показникових рівнянь:

1) 3^0,5z -  2^0,5z =5,    3^0,5z +  2^0,5z  =1;     2) 3^0,5z -  2^0,5z =1,    3^0,5z +  2^0,5z  =5;

Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.

1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді

2*3^0,5z=6;   обидві частини  поділимо на 2.

3^0,5z=3, обидві частини піднесемо до степені 2.

3^z =9;  3^z =3²;  отже  z=2.

2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді

-2*2^0,5z=-4;   обидві частини  поділимо на -2. 

2^0,5z=2;   обидві частини піднесемо до степені 2.

2^z =4;  2^z =2²;  отже  z=2.

Перевірка: 3² -2² = 5.

Відповідь: z=2.

б) х ^z - у ^z = р - це  показникове-степеневе  рівняння.  Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:

(х^0,5z)²-  (у^0,5z)²=(х^0,5z -  у^0,5z )( х^0,5z +  у^0,5z)

Праву частину рівняння можна записати: р=1*р=р*1.

Ліва і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому

отримаємо дві системи показникових рівнянь:

1) х^0,5z -  у^0,5z =р,    х^0,5z +  у^0,5z  =1;     2) х^0,5z -  у^0,5z =1,    х^0,5z +  у^0,5z  =р;

Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.

1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді

2*x^0,5z=р+1;   обидві частини  поділимо на 2.

x^0,5z=0,5(р+1), обидві частини піднесемо до степені 2.

x^z =0,25(р+1)²;  обидві частини рівняння логарифмуємо за основою x;

z=log_x(0,25(р+1)²); 

x^z =0,25(р+1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z = z^-1.

x^z*⁽¹/^z) =(0,25(р+1)²)*⁽¹/^z);  отже  x =(0,25(р+1)²)*⁽¹/^z) .

2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді

-2*y^0,5z=1-р;   обидві частини  поділимо на -2.

y^0,5z=0,5(р-1), обидві частини піднесемо до степені 2.

y^z =0,25(р-1)²;  обидві частини логарифмуємо за основою e;

z=log_y(0,25(р-1)²);   

у^z =0,25(р-1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z = z^-1.

у^z*⁽¹/^z) =(0,25(р-1) ²)*⁽¹/^z);  отже  у =(0,25(р-1)²)*⁽¹/^z) .

Перевірка:   (0,25(р+1)²)*⁽¹/^z)* z - (0,25(р-1)²)*⁽¹/^z)* z = p

Відповідь:   x =(0,25(р+1)²)*⁽¹/^z) ;  у =(0,25(р-1)²)*⁽¹/^z) ,  z – дійсні додатні числа;

d) f ^z (x) - g ^z (y)= xy - це  показникове-степеневе функціональне  рівняння.  Розглянемо  ліву частину як різницю квадратів і розкладемо її на множники:

(f(х)^0,5z)²-  (g(у)^0,5z)²=(f(х)^0,5z – g(у)^0,5z )(f(х)^0,5z + g(у)^0,5z)

Праву частину рівняння можна записати: xy=y*x=xy*1.

Ліва і права частини рівняння належать множині натуральних чисел. Тому

отримаємо дві системи показникових рівнянь:

1) f(х)^0,5z -  g(у)^0,5z =x,    f(х)^0,5z +  g(у)^0,5z  =y;   

 2) f(х)^0,5z -  g(у)^0,5z =1,    f(х)^0,5z +  g(у)^0,5z  =xy;

Використаємо спосіб додавання для розв’язування систем рівнянь.

1) Якщо додати два рівняння у системі 1), тоді

2* f(х)^0,5z=xy+1;   обидві частини  поділимо на 2.

f(х)^0,5z=0,5(xy+1), обидві частини піднесемо до степені 2.

f(х)^z =0,25(xy+1)²;  обидві частини рівняння логарифмуємо за основоюf(х);

z=log _f(х) (0,25(xy+1)²);   

f(х)^z =0,25(xy+1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z= z^-1.

f(х)^z*⁽¹/^z) =(0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z);  отже  x =(0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z) .

2) Якщо відняти два рівняння у системі 2), тоді

-2* g(у)^0,5z=1-xy;   обидві частини  поділимо на -2.

g(у)^0,5z=0,5(xy-1), обидві частини піднесемо до степені 2.

g(у)^z =0,25(xy-1)²;  обидві частини логарифмуємо за основою e;

z=log_y(0,25(xy-1)²);   

g(у)^z =0,25(xy-1)²;  обидві частини рівняння піднесемо до степені  1/z= z^-1.

g(у)^z*⁽¹/^z) =(0,25(xy-1) ²)*⁽¹/^z);  отже  g(у) =(0,25(xy-1)²)*⁽¹/^z) .

Перевірка:   (0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z)* z - (0,25(xy-1)²)*⁽¹/^z)* z = xy

Відповідь:   f(х)=(0,25(xy+1)²)*⁽¹/^z) ;  g(у) =(0,25(xy-1)²)*⁽¹/^z) ,  z – дійсні додатні числа;

1.100  Дивні рівняння

Кмітливий Івасик придумав таке рівняння:

(х – у+1)^2х + (х + у+3)^2у = 0

  і сказав, що його він може розв’язати  усно.

Завдання

1.Не виконуючи тотожних перетворень, розв’язати рівняння усно і перевірити знайдені розв’язки:

a)     (х – 2у+4)^2х + (х + 2у – 4)^2у = 0.

b)    (х – у+5)^2у + (х + у –  5)^2у = 0.

c)     (х – у)^2у + (х + у)^2х = 0.