1.78 Задачі про лицарів та шахраїв
Пропоную
тип логічних загадок, що винайдений
Реймондом Смалліаном.
На вигаданому острові, всі мешканці
якого або лицарі,
які завжди кажуть правду, або шахраї, які завжди брешуть. Загадки
включають відвідувача острова, який зустрічається з маленькими групами
мешканців. Зазвичай метою відвідувача є визначити типи острів'ян через їхні
твердження, хоча деякі загадки потребують виведення інших фактів. Також
завданням може бути визначити запитання на так/ні, яке відвідувач може
запитувати з метою розкрити те, що йому потрібно знати.
Ранній приклад загадок цього типу
включал трьох мешканців на яких посилались як на на A, B і C. Відвідвач запитує
в A до якого типу він відноситься, але не чує його відповідь. Тоді B каже
"A сказав, що він брехун" і C каже "не вір B: він бреше!"
Для розв'язання цієї загадки зауважте, що жоден мешканець не може сказати, що
він шахрай. Тож тверження B є неправдивим, тобто він брехун, що робить
твердження C правдою, тобто він лицар. Звідси відповідь A однозначно була
"Я лицар", і за допомогою наданих даних неможливо визначити лицар A
чи ні.
В деяких різновидах, мешканці дають
почергово правдиві та брехливі відповіді, або завичайні люди, які кажуть те, що
забажать (Як у випадку загадки Лицар/Шахрай/Шпіон). Подальше ускладненняполягає
в надання мешканцям можливості давати відповіді на рідній мові, і відвідувач
знає, що «бел» і «де» значать «так» і «ні», але не знає яке саме «так», а яке
«ні». Ці типи загадок головно вплинули на те, що ми знаєм як «найскладніша
логічна задача».
Уявіть
собі, що на мові острова слова "так" і "ні" звучать як
"тип" і "топ", але невідомо, яке слово що означає. Як,
задавши аборигену одне питання, з'ясувати у нього, брехун він чи лицар?
Завдання
1.Яке
питання треба задати аборигену, щоб він обов'язково відповів "тип"?
2.
Островитянин А в присутності іншого островитянина В каже: "Принаймні один
із нас — брехун". Хто такий А і хто
такий В?
3.
Три чоловіки: А, В і С, про яких відомо, що один із них лицар, другий -—
брехун, а третій – приїжджий, нормальний чоловік, який може
казати і правду, і брехати. А каже: "Я нормальна людина". В каже:
"А і С інколи кажуть правду", С каже: "В — нормальна
людина"
Хто
з них брехун, хто — лицар, а хто
нормальна людина?
4. Зустрілися декілька аборигенів, і кожний із
них заявив всім іншим: "Ви всі —
брехуни". Скільки лицарів могло
бути серед цих аборигенів?
5.Є
дві ворожих армії П та Б. Командир армії П наказав своїм підлеглим говорити
тільки правду усім незнайомцям. Командир армії Б наказав усім підлеглим
повідомляти дезінформацію усім незнайомцям. Уявіть, що ви розвідник і вас вночі викидають в район
розташування чи то армії П, чи то армії
Б. Як одним питанням до першого зустрічного військового з’ясувати, яка армія розташована на даній місцевості?
6.За
круглим столом сиділи 6 осіб: лицарі та брехуни. Лицарі завжди кажуть правду,
брехуни завжди брешуть. На питання: «Хто твій сусід справа?» кожен відповів:
«Брехун». Скільки брехунів було за столом? Відповідь обґрунтувати.
7.Маємо тих самих брехунів та лицарів - на різних островах
.... нас, мандрівників, прибило до
берегу – треба дізнатися одним питанням, хто є аборигеном острову - брехун чи
лицар?
8.
Великий клас простих логічних загадок може бути розв'язаним із використанням
законів булевої
алгебри . Василь
і Григір є постійними мешканцями острова лицарів і шахраїв.
Питання 1
Василь
каже: Ми обидва шахраї.
Хто
є хто?
Питання 2
Тут
подається, мабуть, найвідоміша з цього типу загадок:
Василь
і Григір стоять на розгалуженні дороги. Відомо, що один з них лицар, а другий
шахрай, але невідомо хто саме. Також відомо, що одна дорога веде до смерті,
друга до свободи. Чи можете ви визначити з допомогою одного запитання яка
дорога веде до свободи?
Розв'язок для питання 1
Василь
шахрай, а Григір лицар.
Василь
твердить, що "Василь і Григір шахраї."
Якщо
Василь лицар, він не зміг би сказати, що він шахрай бо він не може брехати. Те
що Василь шахрай робить його твердження брехнею. Тоді хтось з них лицар, або
обидва вони лицарі. Ми вже знаємо, що Василь не може бути лицарем, тоді Григір
має бути лицарем.
Розв'язок для питання 2
Існує
декілька шляхів для розв'язання. Один з них наступне запитання: "Чи скаже
мені другий, що твій шлях веде до свободи?"
Зауважимо,
що попередній розв'язок вимагає знання кожного про тип другого. Другий
розв'язок полягає в запитанні кожного з них, "Якою буде твоя відповідь,
якщо я запитаю тебе чи веде твій шлях до свободи?"
Іще
одним варіантом є запитання: "Чи вірне одне з наступних запитань? Ти Лицар
і одночасно цей шлях веде до свободи; або ти шахрай і це не шлях до
свободи". Додаткові різновиди запитань можна знайти за допомогою булевої
алгебри.
7.
Андрій, Віктор, Степан хотіли поїхати у відпустку разом і подали про це заяву.
Через деякий час секретарка сказала, що відпустку їм надали в різні місяці – в
червні, липні та серпні. І повідомила, що Степану випала відпустка не в серпні,
Віктору – не в липні, а от Андрію, здається в липні. Коли чоловіки дізналися у
відділі кадрів про час своєї відпустки, виявилось, що секретарка повідомила
тільки одному з них вірно час відпустки. На які ж місяці кожному з них випала
відпустка? (Степан – у червні, Віктор – у липні, Андрій – у серпні).
1.79 Магічні
числа
Розташовувати
числа можна не тільки у судоку та у магічних фігурах. Проявіть кмітливість при
розташуванні чисел у наступних завданнях.
Завдання
1)
На
шаховій дошці розставлено числа, кожне з яких дорівнює середньому арифметичному
своїх сусідніх( по вертикалі та по горизонталі). Довести, що всі числа
рівні.(вказівка: розгляньте найбільше число)
2)
На
колі розміщено 30 чисел, кожне з яких дорівнює модулю різниці двох наступних за
ним за ходом годинникової стрілки. Сума всіх чисел дорівнює 1. Що це за числа і
як вони розміщені по колу?
3)
На
колі розміщено 8 чисел, кожне з яких дорівнює сумі трьох наступних за ним (за
ходом годинникової стрілки). Знайти ці числа.
4)
Чи
існують такі цілі числа a, b, відмінні від нуля, що одне з них ділиться на їх
суму, а друге — на їх різницю?
5)
Доведіть,
що натуральне число, десятковий запис якого складається із однієї одиниці, двох
двійок, трьох трійок, ... , дев'яти дев'яток, не може бути точним квадратом.
6)
Кожне
з натуральних чисел a, b, с і d ділиться на аb − сd. Доведіть, що аb − сd
дорівнює 1 або −1.
7)
В
країні Анчурії в обігу знаходяться купюри чотирьох номіналів: 1 лар, 10 ларів,
100 ларів, 1000 ларів. Чи можна відрахувати мільйон ларів так, щоб одержати
рівно півмільйона купюр?
8)
На
дошці написано число 1. Кожну секунду до числа на дошці додають суму його
цифр. Чи може через деякий час на дошці
з'явитися число 123456?
9)
Доведіть,
що число 3999991 не є простим.
10)
а)Знайдіть
семицифрове число, всі цифри якого різні і яке ділиться навсі ці цифри; б) Чи
існує таке восьмицифрове число?
1.80 Числові задачі
Якщо
кожний хлопчик купить пиріжок, а кожна дівчинка — булочку, то вони витратять
разом на одну копійку менше, ніж якби кожний хлопчик купив булочку, а кожна
дівчинка — пиріжок. Відомо, що хлопчиків більше, ніж дівчинок.
Завдання
1)
На
скільки хлопчиків більше, ніж дівчинок?
2)
175
Шалтаїв коштують дорожче, ніж 125, але дешевше, ніж 126 Болтаїв. Доведіть, що
на трьох Шалтаїв і одного Болтая карбованця не вистачить.
3)
В
класі кожний хлопчик товаришує з трьома дівчатками, а кожна дівчинка — з двома
хлопчиками. При цьому в класі всього 19 парт і 31 школяр. Скільки в класі
учнів?
4)
Дві
команди розіграли першість школи в десяти видах змагань, причому за перемогу
команда одержувала 4 очки, за нічию — 2 і за програш — 1 очко. Разом обидві
команди набрали 46 очок. Скільки було нічиїх?
5)
Четверо
товаришів купили разом човен. Перший вніс половину суми, внесеної іншими;
другий — третину суми, внесеної іншими; третій — чверть суми, внесеної іншими,
а четвертий вніс 130 карбованців. Скільки коштує човен і скільки вніс кожний?
6)
На дорозі, що з'єднує два карпатських села,
немає горизонтальних ділянок. Автобус їде вгору завжди зі швидкістю 15 км/год, а під гору — 30 км/год. Знайдіть відстані, між селами, якщо
відомо, що шлях туди і назад автобус долає за 4 години.
1.81 Властивості
сум
Вашій
увазі пропонується завдання на дослідження властивості сум.
Завдання
1)
Додали
два числа. Їх сума виявилась на 76 більше від другого доданку. Знайти перший
доданок.
2)
Додали
два числа. Виявилось, що перший доданок на 192 менший за суму. Знайти другий
доданок.
3)
Знайти
найбільше значення суми двох різних двоцифрових чисел.
4)
Знайти
найменше значення суми двох різних
чотирицифрових чисел.
5)
Сума
двох чисел 59, а їх різниця 9. Знайти добуток цих чисел.
6)
Сума трьох натуральних чисел рівна добутку цих
чисел. Знайти ці три числа.
7)
Шість
однакових діжок вміщують 28 відер води. Скільки відер води можуть вмістити
таких 15 діжок?
8)
Дмитро
і Максим грають у таку гру. За свій хід гравець повинен за декілька пострілів і
попасти в такі очкові зони: 7, 8, 9, 10
мішені так, щоб сума вибитих очок дорівнювала 100, при цьому 100 очок
треба вибити іншим способом. Виграє той, хто останнім виб’є потрібну суму очок.
Хто з гравців забезпечить собі перемогу, якщо гру розпочинає Дмитро? Детально
обґрунтуйте відповідь.
9)
Запиши
сотню дев’ятьма різними числами, що з’єднані знаками дій.
10)
Поясни,
чому 9999^10 більше, ніж 99^20?
11)
Доведіть,
що довільну суму, більшу 7 коп., можна сплатити монетами вартістю в 3 коп. та 5
коп.
12)
Два
сусідні міста. В одному всі брехуни, а в іншому правдолюби. І ті й інші
приїжджають один до одного в гості. Яке потрібно поставити єдине питання
перехожому, що б дізнатися в якому ви перебуваєте місті? Відповідь на цю
задачку : Треба
запитати: Ви тут в гостях?
Якщо відповідь "так", то ви в місті брехунів. А якщо відповідь "ні", то в місті правдолюбів. Або можна з посмішкою запитати: Ви місцевий?- Ви тутешній абориген?
Якщо відповідь "так", то ви в місті брехунів. А якщо відповідь "ні", то в місті правдолюбів. Або можна з посмішкою запитати: Ви місцевий?- Ви тутешній абориген?
1.82 Розфарбування у два кольори
Хтось не бере до уваги ані свідчень, ані здогадів, бо він робить висновок відповідними міркуваннями із своїх означень та аксіом.
І справді, те, що ґрунтується на здогадах, безпідставно називають наукою;
здогади можуть породити думку про щось, але не знання чи достовірний досвід.
Завдання
1)
Площина
пофарбована у два кольори. Довести, що знайдуться 2 точки на відстані 1 м : а) одного кольору; б) різних кольорів.
2)
Площина
пофарбована у три кольори. Довести, що знайдуться 2 точки на відстані 1 м
одного кольору.
3)
Чи
можна викласти квадрат розміром 6х6
клітинок фігурками виду Т, які містять
тільки чотири клітинки?
4)
На
трикутній політичній карті розміром 7 м, 7м, 7м є 49 однакових за площею трикутних держав. За
домовленістю будь-яка держава континенту кожного року направляє делегацію тільки в одну з держав, з якою має суцільну
ділянку кордону. Чи усі держави такої
політичної карти приймають делегацію
кожного року?
5)
Пряму
зафарбували у чорний та білий кольори.
Довести, що на цій прямій існують три однокольорові точки А1,
А2, А3 для яких виконується умова: А1А2
= А3А2.
6)
Пряма
зафарбована у два кольори. Довести, що знайдуться 2 точки на відстані 1 м різних кольорів або 2 точки одного кольору на
відстані 2м.
7)
Усі
точки прямої зафарбовані у чотири кольори. Чи можна серед 11 одиничних
відрізків знайти два відрізки, у яких при накладанні співпадають кольори кінців.
1.83 Закони
послідовностей чисел
1)
Продовжте
послідовності чисел на три числа вліво і
вправо:
a)
…,
123, 456, 789, 101, 112, 131, 415, ...
b)
…,
100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …
c)
…,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
d)
…,
1211, 2211, 1222, 1111, 2222, …
e)
…,
526, 272, 829, 210, 211, 222, …
f)
…,
0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, …
g)
…,
1, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, …
h)
…,
1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125, …
i)
…,
100, 999, 897, 969, 594, 939, 291, …
2)
Продовжте
послідовності на три букви:
a)
П,
В, С, Ч, …
b)
С,
Л, Б, К, …
c)
К,
О, Ж, З, …
d)
О,
Д, Т, Ч, …
3)
Є
два пісочних годинники: на 7 хвилин і на 11 хвилин. Яйце вариться 15 хвилин. Як
відміряти цей час за допомогою даних
годинників?
4)
Який
кут мiж годинною і хвилинною стрілками, якщо годинник показує 12 год 12 хв?
5)
Ви
маєте 9 монет, серед яких одна фальшива. Знайдіть фальшиву монету за допомогого
трьох зважувань, якщо невідомо, легша вона, чи важча.
6)
Аркуш
папару розрівали на 4 частики, потім якусь з цих частин розрізали знову на 4
частин і т.д. Коли підрахувалк загальну кількість клаптиків, то виявилось їx 66
чи 67. Не перераховуючи, уточніть відповідь.
7)
Як
від куска тканини довжиною 8 м відрізати кусок довжиною 5 м, не маючи під
руками вимірювальних приладів?
8)
Bи
маєте три порожні посудини місткістю 3, 5 і 8 л. За яку найменшу кількість
кроків переливань і наливань з однієї
посудини в іншу можна набрати
з-під крана 7 л води у 8-літрову посудину?
1.84 Магічні числові фігури
Уявіть
себе людиною, що вміє складати латинські та магічні квадрати і використовує
їхні властивості на практиці, наприклад при дослідженні різних властивостей
сортів пшениці. Вам необхідно проявити свої здібності в утворенні числових квадратів з
магічними сумами.
Нагадуємо способи утворення магічного квадрату 3х3 один
одному.
Розташувати
натуральні числа від 1 до 9 в магічний квадрат 3х3 можна 8 різними
способами. Знайдемо магічну суму для магічного
квадрату 3х3:
(1+2+3+4+5+6+7+8+9):3
= 45:3 =15.
Утворимо
суми з трьох доданків:
9+5+1
= 9+4+2 = 8+6+2 = 8+5+2 = 8+4+3 = 7+6+2
= 7+5+3 = 6+5+4 =15
У
магічному квадраті 3х3 магічною постійною є число 15, отже, повинні бути рівні сумі трьох чисел по 8
напрямам: по 3 рядкам, 3 стовпцям і 2 діагоналям. Оскільки число, що стоїть в
центрі, належить 1 рядку, 1 стовпцю і 2 діагоналям, воно входить в 4 з 8
трійок, що дають в сумі магічну постійну. Таке число тільки одне: це 5. Отже,
число, що стоїть в центрі магічного квадрата 3х3, вже відоме: воно рівне 5.
Розглянемо
число 9. Воно входить тільки в 2 трійки чисел:
9+5+1 = 9+4+2 = 15. Ми не можемо помістити його в кут магічного
квадрату, оскільки кожна кутова клітка належить 3 трійкам: рядку, стовпцю і діагоналі.
Отже, число 9 повинно стояти в клітинці, що межує тільки із однією
стороною квадрата в її середині. Із-за
симетрії квадрата байдуже, яку із сторін ми виберемо, тому пишемо 9 над числом
5, що стоїть в центральній клітці. По обидві сторони від дев'ятки у верхньому
рядку ми можемо вписати тільки числа 2 і 4. Яке з цих двох чисел опиниться в
правому верхньому кутку і яке в лівому, знову – таки не має значення, оскільки
одне розташування чисел переходить в інше при дзеркальному віддзеркаленні.
Решта кліток заповнюється автоматично. Проведений нами спосіб побудови магічного квадрата 3х3
не єдиний. З іншими способами
познайомимося трохи пізніше.
Запитання:
1.
Що необхідно
знайти для того, щоб утворити магічний квадрат 3х3?
Відповідь: Спочатку треба
знайти магічну суму для магічного квадрату 3х3:
(1+2+3+4+5+6+7+8+9):3
= 45:3 =15.
Потім
утворити суми з трьох доданків:
9+5+1
= 9+4+2 = 8+6+2 = 8+5+2 = 8+4+3 = 7+6+2
= 7+5+3 = 6+5+4 = 15
2. Як утворити класичний
магічний квадрат 3х3?
Відповідь: Для цього накресліть порожній
клітинковий квадрат, розміром 3х3.
Випішіть підряд натуральні числа : 1, 2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9. Заповніть кожну клітинку якоюсь однією цифрою,
використовуючи всі цифри, окрім 0, так , щоб
сума трьох чисел, що розташовані по горизонталям, і сума
трьох чисел, що розташовані по вертикалям,
і сума трьох чисел, що розташовані по діагоналям була
однакова.
Обговорення отриманих
відповідей між учнями.
Зрозуміло, що для того аби знайти число, яке
рівне сумі чисел по рядкам, треба додати усі цифри та отримати 45. Якщо
це число розділити на 3, то отримаємо 15. Отже, сума по горизонталях,
по вертикалям, по діагоналям рівна 15. Середнє серед цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - це 5, тому воно повинно
стояти в центральній клітинці. Помітимо, що числа рівновіддаленні від числа 5 –
це числа однакової парності і мають таку
властивість: 1+ 9 =10, 2+8 =10, 3 + 7 =10, 4+ 6 = 10. Тоді в сусідній з нею
клітинках повинні стояти непарні цифри.
Проблемне запитання: Чому в кутових клітинках магічного квадрату 3х3
повинні стояти тільки парні числа?
Відповідь:
В кутових клітинках повинні стояти
тільки парні числа, бо у противному випадку не утвориться магічний квадрат.
Адже якщо цифра 7 і 9 опиняються або на
одній діагоналі, або в одному стовпчику, тоді
порушуються магічна сума на цій
діагоналі або в цьому стовпчику(адже
9+7=16, що не рівне 15).
Знайшовши
одне правильне розташування чисел в магічному квадраті можна отримати ще
вісім таких квадратів за допомогою
повороту навколо центральної клітинки.
5
|
||
4
|
2
|
|
5
|
||
8
|
6
|
4
|
9
|
2
|
3
|
5
|
7
|
8
|
1
|
6
|
9
|
||
3
|
5
|
7
|
1
|
Отже, ми виявили деякі закономірністі утворення
класичного магічного квадрату 3х3.
2
|
7
|
6
|
2
|
9
|
4
|
4
|
3
|
8
|
4
|
9
|
2
|
||||
9
|
5
|
1
|
7
|
5
|
3
|
9
|
5
|
1
|
3
|
5
|
7
|
||||
4
|
3
|
8
|
6
|
1
|
8
|
2
|
7
|
6
|
8
|
1
|
6
|
||||
6
|
1
|
8
|
6
|
7
|
2
|
8
|
1
|
6
|
8
|
3
|
4
|
||||
7
|
5
|
3
|
1
|
5
|
9
|
3
|
5
|
7
|
1
|
5
|
9
|
||||
2
|
9
|
4
|
8
|
3
|
4
|
4
|
9
|
2
|
6
|
7
|
2
|
||||
Завдання.
1.
Продовжте послідовності чисел на три
числа:
123,
456, 789, 101, 112, 131, 415, ... Чи вірне таке продовження: 161, 718, 192?
100,
121, 144, 169, 196, 225, 256, … Чи вірне
таке продовження: 289, 324, 361?
1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Чи вірне таке продовження: 144, 233, 377?
1211, 2211, 1222, 1111, 2222, … Чи вірне таке продовження: 1111, 1222, 2211?
Самостійно створіть закон утворення послідовності чисел і
запишіть його…
2.
Продовжте послідовності на три букви:
П,
В, С, Ч, … Чи вірне таке
продовження: П, С, Н. (дні тиждня)?
С,
Л, Б, К, … Чи вірне таке
продовження: Т, Ч, Л. (назви місяців)?
К,
О, Ж, З, … Чи вірне таке
продовження: Г, С, Ф (кольори
веселки)?
О,
Д, Т, Ч, … Чи вірне таке продовження: П,
Ш, С (назви цифр)?
Самостійно створіть закон утворення послідовності букв і запишіть його…
3.
Розмістити в таблиці 3х3, в якій
заповнені дві кутові клітинки нижньої горизонталі відповідно 3 та 4, числа 1, 2 та від 5 до 9 так, щоб
виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2
була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із можливих.
3
|
4
|
4.
Розмістити в таблиці 3х3, в якій заповнені дві кутові клітинки нижньої
горизонталі відповідно 7 та 8, числа від
1 до 6 і 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була
однакова; 2) число записане в центрі таблиці було найменшим із можливих.
7
|
8
|
5.
Розмістити в таблиці 3х3, числа від 21
до 29 так, щоб виконувалась така умови: сума
по усіх рядках, по усіх колонках, по двох діагоналях була однакова.
6.
Циферблат годинника треба розрізати на 4
частини так, щоб суми чисел кожної частини були чотирма послідовними числами
18, 19, 20, 21.
7.
Розмістити в таблиці 3х3, числа від 1 до
9 так, щоб виконувалась така умови: 1) по усіх рядках, по усіх колонках
сусідні(послідовні) числа не стоять
поряд; 2) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні ; 3) сума чисел по
центральному рядку та центральному
стовпчику рівні.
8.
Розмістити в таблиці 3х3 числа від 1 до
9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому
квадраті 2х2 була різна; 2) число записане в центрі таблиці було найбільшим із
можливих; 3) по кожній діагоналі квадрата суми чисел рівні і найбільші із
можливих; 4) суми чисел по центральному рядку та центральному стовпчику рівні і найменші із можливих.
9.
Заповнити таблицю 1х21, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4, 5 та дотримуючись
таких умов: 1) будь-які дві сусідні цифри в таблиці не рівні; 2) всі двоцифрові
числа, що утворені двома сусідніми цифрами, відрізняються між собою, якщо
читати їх зліва направо.
10.
Розставити числа від 1 до 8 у зафарбованих клітинках таблиці 3х4 так, щоб
жодних два послідовних числа не стояли у клітинках, які мають спільну вершину.
11.
Розставити двоцифрові числа, які утворені з цифр 1, 2, 3, 4,
5 у клітинках таблиці 4х4 так, щоб жодних два послідовних числа не стояли
у клітинках, які мають спільну сторону
і будь-яке двоцифрове число не містило
однакових цифр.
12.
Розмістити в таблиці 3х3, числа від 3,
6, 9, 12, …, 27 так, щоб виконувалась
така умови: сума по усіх рядках, по усіх
колонках була однакова.
1.85 Числові стрічки
Уявіть
себе художником і вам треба підібрати декілька кольорів для розфарбування стрічки. Кольори для зручності
будемо позначати числами від 0 до 8. Вам треба дослідити властивості цієї
стрічки з номерами кольорів.
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1. У кожній клітинці
9-клітинкової стрічки розташовані числа від 0 до 8.
Обґрунтуйте, чому сума
чисел у будь-яких трьох послідовних клітинках
ділиться націло на 3.
2. Заповніть порожню
стрічку числами 0, 1, 2, так, щоб сума у трьох сусідніх клітинках дорівнювала
3. Дотримуючись умов задачі, обґрунтуйте відповіді на такі питання:
a)
Скільки
існує способів заповнення цієї стрічки?
b)
Скільки
клітинок будуть заповнені одним числом?
c)
Чи
завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки ділиться
на 6?
d)
Яка
найменша кількість послідовних клітинок
заповненої стрічки, в яких сума чисел рівна
5?
e)
В
скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший
добуток чисел?
f)
Чому
дорівнює найменше число, яке може
утвориться в заповненій стрічці?
g)
Чи
рівні між собою усі можливі добутки семи
чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої
стрічки?
h)
Скільки
найменше треба взяти будь-яких клітинок
із заповненої стрічки, аби добуток чисел цих клітинок був найбільшим?
3.У кожній
клітинці 9-клітинкової стрічки розташовані натуральні числа. Виконується властивість:
для будь-яких трьох послідовних клітинок заповненої стрічки виконуються умова:
сума чисел рівна чотири.
Дотримуючись цих умов,
обґрунтуйте відповіді на такі питання: Скільки існує способів заповнення цієї
стрічки?
a)
Яка
найменша кількість клітинок буде заповнена одним числом?
b)
Чи
завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 6?
c)
Яка
найменша кількість послідовних клітинок
заповненої стрічки, в яких сума чисел
рівна 5?
d)
В
скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший
добуток чисел?
e)
Чому
дорівнює найменше число, яке може
утвориться в заповненій стрічці?
f)
Чи
рівні між собою усі можливі добутки семи
чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої
стрічки?
g)
Скільки
найменше треба взяти будь-яких клітинок
із заповненої стрічки, аби добуток чисел цих клітинок був найбільшим?
h)
Чи
для будь-яких трьох послідовних клітинок заповненої стрічки добуток чисел
однаковий?
4.У кожній
клітинці 9-клітинкової стрічки розташовані натуральні числа. Виконується
властивість: для будь-яких чисел з трьох послідовних клітинок заповненої
стрічки виконуються умова: сума і
добуток рівні між собою. Дотримуючись
цих умов, обґрунтуйте відповіді на такі питання:
a)
Скільки
існує способів заповнення цієї стрічки?
b)
Яка
найменша кількість клітинок буде заповнена одним числом?
c)
Чи
завжди сума в будь-яких шести послідовних клітинках цієї стрічки рівна 12?
d)
Яка
найменша кількість послідовних клітинок
заповненої стрічки, в яких сума чисел
рівна 15?
e)
В
скількох послідовних клітинках заповненої стрічки знаходиться найбільший
добуток чисел?
f)
Чому
дорівнює найменше число, яке може
утвориться в заповненій стрічці?
g)
Чи
рівні між собою усі можливі добутки семи
чисел, які знаходяться у необов’язково послідовних семи клітинках заповненої
стрічки?
h)
Скільки
найменше треба взяти будь-яких клітинок
із заповненої стрічки, аби добуток чисел цих клітинок був найбільшим?
i)
Чи
для будь-яких шести послідовних клітинок заповненої стрічки добуток чисел
однаковий?
Відповіді.
До задачі
1.
a)
Так
як остачі від ділення на 3 для трьох послідовних чисел: 3 = 0+1+2, тоді для розташування цих чисел в перших трьох клітинках існує
1∙2∙3=6 способів. Тобто 0+1+2 = 0+2+1 = 1+0+2 = 1+2+0 = 2+1+0 = 2+0+1. Таким
чином, існує шість способів заповнення
стрічки.
b)
9:3=3
клітинки будуть заповнені числом 2.
c)
Так,
адже у будь-яких трьох послідовних клітинках
рівна 3, тому у шести послідовних
клітинках 3+3=6.
d)
4
клітинки, адже у будь-яких чотирьох
послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково містяться клітинки з числами 0 і 1. Наприклад;
2+0+1+2=5.
e)
В
двох клітинках, бо у будь-яких трьох
послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково міститься клітинка з числом 0. Тому добуток чисел у
послідовних трьох клітинках рівний нулю. Найбільший добуток в двох клітинках рівний 2.
f)
12012012.
g)
Так,
рівні нулю. За принципом Діріхле знайдеться принаймні одна клітинка з цифрою
0..
h)
Три
клітинки з числами 2. Найбільший добуток рівний 6.
До
задачі 2.
a)
Так
як 4= 1+1+2=1+2+1=2+1=1, тоді для
розташування цих чисел в перших трьох
клітинках стрічки існує 3 способи, а всі інші клітинки заповнюються однозначно
відповідно до умови задачі. Існує три способи заповнення стрічки.
b)
9:3=3
клітинки.
c)
Ні,
адже у будь-яких трьох послідовних клітинках
рівна 4, тому у шести послідовних клітинках 4+4=8.
d)
4
клітинки, адже у будь-яких чотирьох
послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково містяться клітинки з числами 2 і 1. Наприклад;
1+2+1+1=5.
e)
Не
менше, ніж в семи клітинках, бо у будь-яких
трьох послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково
міститься клітинка з числом 2. Тому
добуток чисел у послідовних трьох клітинках рівний 2. Найбільший добуток в семи клітинках рівний 8.
f)
112
млн. 112 тис. 112.
g)
Ні,
вони можуть бути рівні 2, 4, 8. За принципом Діріхле серед семи клітинок
знайдеться принаймні одна клітинка з цифрою 2.
h)
Три
клітинки з числами 2. Найбільший добуток рівний 6.
i)
Так,
адже 1∙1∙2 = 2∙1∙1= 1∙2∙1.
До
задачі 3
j)
Так
як 6 = 1+2+3=1∙2∙3, тоді для
розташування цих чисел в перших трьох
клітинках стрічки існує 6 способів, а всі інші шість клітинок заповнюються
однозначно відповідно до умови задачі. Існує три способи заповнення стрічки.
k)
9:3=3
клітинки.
l)
так,
адже у будь-яких трьох послідовних клітинках
рівна 6, тому у шести послідовних клітинках 6 + 6 = 8.
m)
7
клітинок, адже у будь-яких трьох
послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково містяться клітинки з числами 3, 2 і 1.
n)
В
восьми клітинках, бо у будь-яких трьох
послідовних клітинках заповненої стрічки обов’язково міститься клітинка з числом 1. Тому добуток чисел у
послідовних восьми клітинках рівний 216. Найбільший добуток в цих клітинках рівний 216.
o)
123
млн. 123 тис. 123.
p)
Ні,
вони можуть бути рівні 36, 72, 108. За принципом Діріхле серед семи клітинок
стрічки знайдеться принаймні три клітинки з числами або 2, або 3, або 1.
q)
Три
клітинки з числами 6. Найбільший добуток рівний 216.
Так, адже 1∙3∙2 = 2∙
1.86
Відношення порядку
Уявіть себе людиною, що впорядковує всілякі об’єкти згідно деякого правила. Це правило
назвемо словом «відношення» порядку на множині натуральних чисел. Вам треба
проявити усі свої здібності для такого завдання.
Завдання
Розподілити
двадцять тверджень на три групи:
·
перша
група тверджень, які завжди правильні на множині натуральних чисел;
·
друга
група тверджень, які завжди неправильні на множині натуральних чисел;
·
третя
група тверджень, які не входять до першої та до другої групи.
Твердження:
1.
Існує
натуральне число між двома числами 2m та 2m -1, де m − натуральне число.
2.
Серед
обмеженої кількості натуральних
чисел є
найбільше та найменше число, які можна записати або 5m, або 5m
-1, або 5m -2, або 5m -3, або 5m - 4, де m − натуральне число.
3.
Серед
необмеженої кількості натуральних
чисел є
найменше число, які можна записати
або 9m, або 9m - 1, або 9m - 2, або 9m - 3, або 9m
- 4, 9m
- 5, або 9m -6, або 9m - 7, або 9m -8, де m − натуральне число.
4.
Серед будь-яких двох парних натуральних
чисел вигляду існує
непарне число, яке можна записати або 9m
+ 1, або 9m
+ 3, або 9m
+ 5, або 9m
+ 7,
5.
Не можливо
знайти парне числа серед
будь-яких двох непарних
натуральних чисел, які записуються у вигляді
або 5m, або 5m+2, або 5m+4, де m − натуральне
число.
6.
Одиниця не є
наступним елементом жодного з чисел натурального ряду.
7.
Для довільного
натурального числа існує наступне натуральне число.
8.
Якщо для довільних
двох натуральних чисел відповідні їм наступні числа збігаються, то самі ці елементи рівні.
9.
Якщо множина М складається з
натуральних чисел і містить одиницю ряду натуральних чисел та для кожного натурального числа множини М наступне для нього також належить до М, то ряд натуральних
чисел являється
підмножиною М.
10. Серед
будь-яких натуральних чисел вигляду 4m або 4m +1, або 4m + 2, або 4m + 3 не
можливо знайти найменшого числа, яке записуються у вигляді
7m +1, або 7m+2, де m − натуральне число.
11. Серед будь-яких
натуральних чисел вигляду 4m або 4m+1, або 4m+2, або 4m+3 можна
знайти найбільше число, яке записуються
у вигляді або 3 m, або 3m -1, або 3m-2, де m − натуральне число.
12. Серед будь-яких
трьох натуральних чисел вигляду 3m або 3m+1, або 3m+2 можна
два послідовні парні числа знайти числа,
які записуються у вигляді або 2m+2,
або 2m, де m − натуральне
число.
13. Якщо число
парне, тоді його попереднє і наступне непарні числа, які записується у вигляді
або 9m+2, або 9m+4, або 9m+6, або 9m+8, де m − натуральне
число.
14. Якщо натуральне
число ділиться на 3, тоді воно записується у вигляді
або 3m+1, або
3m+2, де m − натуральне число.
15. Якщо
натуральні числа записується
у вигляді або 6m+1,
або 6n+2,
або 6p+5, або 6k+4, або 6g+3, тоді серед
них немає рівних чисел.
16. Якщо натуральні
числа записуються у вигляді 5n - 4 і 3m +1, тоді вони можуть бути рівними між собою і
записуються або 6m+1,
або 6m+2,
або 6m+5, або 6m+4, або 6m+3, де m − натуральне число.
17. Якщо три
натуральні числа записується у вигляді
6m+1,
6m+2, 6m+3, тоді три наступні натуральні числа відповідно
записуються у такому порядку 6n+5, 6n+4, 6n+3, де m, n − натуральні
числа.
18. Якщо натуральні числа записується у
вигляді 7m+1, 7m+2, 7m+3 тоді
три попередні натуральні числа
записуються у такому порядку 7k, 7k -1, 7k -2, де m, k − натуральні
числа.
19. Якщо натуральні
числа записується у вигляді
8m+8, 4m+4, тоді їхні попередні числа
є непарними і записуються відповідно 8m
- 7, 4m+3,
де m
− натуральне число.
20. Якщо натуральні
числа записується у вигляді
9m+1,
24m+2, тоді вони
ніколи не можуть бути рівними, де m − натуральне
число.
1.87 Алгоритм
художника
Алгоритм
художника, також відомий як пріоритетне заповнення, є одним з найпростіших
рішень проблем які виникають в комп'ютерній 3D графіці. При проектуванні
3D-сцени на 2D площину, необхідно в якийсь момент вирішити, які багатокутники
видно, і які приховані або частково приховані.
Назва
«алгоритм художника» відноситься до техніки, яка використовується багатьма
художниками живопису для віддалення частин сцени, які перекриваються частинами,
розташованими ближче до спостерігача. Алгоритм художника сортує всі
багатокутники в сцені по їх глибині і потім малює їх у порядку від
найвіддаленішого до найближчого. Алгоритм буде зафарбувати ті частини, які
зазвичай не видно — тим самим вирішуючи проблему видимості — ціною
фарбування областей віддалених об'єктів, які не будуть видимими. Порядок, який
використовує алгоритмом називається «порядок глибини», який використовує
числову відстань до частин сцени: істотна властивість цього впорядкування,
полягає в тому, якщо один об'єкт заступає частину іншого, тому перший об'єкт
буде забарвлений після об'єкта, який він приховує. Таким чином, такий порядок
може бути описаний як топологічне впорядкування орієнтованого
ациклічного графа, що представляє розташування об'єктів
Завдання.
1.Чи
можна впорядкувати 3 різнокольорові прямокутники на площині так, щоб:
а)
можна було визначити порядок глибини кожного з них;
б)
не можна було визначити порядок глибини кожного з них;
в)
можна було говорити, що кожний прямокутник займає усі три рівні глибини?
2.Чи
можна впорядкувати 4 різнокольорові
прямокутники на площині так, щоб:
а)
можна було визначити порядок глибини кожного з них;
б)
не можна було визначити порядок глибини кожного з них;
в)
можна було говорити, що кожний прямокутник займає усі 4 рівні глибини?
3.Чи
можна впорядкувати 5 різнокольорові
прямокутники на площині так, щоб:
а)
можна було визначити порядок глибини кожного з них;
б)
не можна було визначити порядок глибини кожного з них;
в)
можна було говорити, що кожний прямокутник займає усі 5 рівні глибини?
Немає коментарів:
Дописати коментар