2.1 Розташування об’єктів
Організатор математичного бою Назар орендував порожній квадратний зал та
крісла. Йому необхідно розсадити три
різні команди та групу журі вздовж стін.
Завдання
1.
У квадратному залі треба розставити вздовж
чотирьох стін 10 крісел так, щоб біля
кожної стінки стояло порівну крісел і тільки одна пара крісел стояло напроти один одного.
Розв’язання.
екран
|
екран
|
екран
|
|||||||
екран
|
|||||||||
2.
У квадратному залі треба розставити вздовж
чотирьох стін 17 крісел так, щоб біля кожної стінки стояло порівну крісел і
лише чотири.
Розв’язання.
екран
|
екран
|
екран
|
|||||||
екран
|
|||||||||
3.
У квадратному залі розміром 9х9х3 треба розставити на підлозі
вздовж чотирьох стін 16 крісел так, щоб біля кожної стінки стояло порівну
крісел і крісла стояли один напроти іншого.
екран
|
екран
|
екран
|
||||||
екран
|
||||||||
2.2 Змішування
речовин
У
продавця було два сорти масла: першого
сорту ціною 10 гривень за відро, другого сорту 6 гривень за відро. Продавцю захотілось
зробити із двох сортів масла, змішавши їх, масло ціною у 7 гривень за відро.
Завдання.
1)Які
частини цих двох масл треба взяти, щоб після змішування отримати відро масла
коштовністю 7 гривень?
Розв’язання.
Один під одним записуємо (ціну) усіх наявних сортів масла, зліва від них приблизно посередині- коштовність масла, яке
повинно отриматися після змішування.
6 грн ®
10-7 =3 частини для масла, що має ціну 6 грн
7
грн
10
грн ® 7-6 =1 частини
для масла, що має ціну 10 грн
З’єднавши
записані числа рисками, отримаємо таку картину
Найменшу
ціну віднімаємо від ціни новоутвореного масла і цю різницю записуємо праворуч
від більшої ціни. Потім від більшої ціни віднімаємо ціну залишеного масла, а
результат цей записуємо праворуч від найменшої ціни. Отримаємо 10 грн -7 грн =3 частини для масла, що має
ціну 6 грн та 7 грн -6 грн =1 частину для масла, що має ціну 10 грн. Повне відро поділити на 1+3 = 4 рівні
частини. З цього обчислення робимо висновок, що дешевого масла треба взяти
втричі більше, ніж дорожчого, щоб отримати 1 відро масла (1/4) відра, а
дешевого три четверті відра(3/4).
А
тепер перевіримо цей спосіб. Насправді , якщо узяти одну четверту частину відра
масла коштовністю 10 гривень 0,25*10 грн = 2,5 грн і три четвертих відра масла коштовністю 6 гривень,
то отримаємо 0,75*6= 4,5 грн. Разом
отримаємо 2,5+4,5 = 7 грн вартість повного відра масла.
2)Які
частини цих двох масл треба взяти, щоб після змішування отримати відро масла
коштовністю 8 гривень?
Розв’язання.
Один під одним записуємо (ціну) усіх наявних сортів масла, зліва від них приблизно посередині- коштовність масла, яке
повинно отриматися після змішування. З’єднавши
записані числа рисками, отримаємо таку картину
6 грн ®
10-8 =2 частини для масла, що має ціну 6 грн
8
грн
10 грн ® 8-6 =2 частини для масла, що має
ціну 10 грн
Найменшу
ціну віднімаємо від ціни залишеного масла і цю різницю записуємо праворуч від
більшої ціни. Потім від більшої ціни віднімаємо ціну залишеного масла, а
результат цей записуємо праворуч від найменшої ціни. Отримаємо 10 грн -2 грн =2 частини для масла, що має
ціну 6 грн та 8 грн -6 грн =2 частини для масла, що має ціну 10 грн. Повне відро поділити на 2+2 = 4 рівні
частини. З цього обчислення робимо висновок, що дешевого масла треба взяти 2
частини, щоб отримати повне одне відро масла (2/4 =1/2) відра та дешевого масла дві четверті відра(2/4=1/2).
А
тепер перевіримо цей спосіб. Насправді , якщо узяти одну половину відра масла
коштовністю 10 гривень 0,5*10 грн = 5 грн і половину відра масла коштовністю 6 гривень, то
отримаємо 0,5*6= 3грн. Разом
отримаємо 5+3 = 8 грн вартість повного відра масла.
3)Які
частини цих двох масл треба взяти, щоб після змішування отримати відро масла
коштовністю 7грн 50 коп?
4)
Які частини цих двох масл треба взяти, щоб після змішування отримати відро
масла коштовністю 6грн 20 коп?
5)Які
частини цих двох масл треба взяти, щоб після змішування отримати відро масла
коштовністю 8грн 60 коп?
2.3 Задача ювелірного майстра
Ювелір
отримав замовлення на виріб із срібла 9 проби.
Проте у нього є лише три зливки срібла і всі вони мають різну пробу: срібло
12 проби масою 3,5 кг, срібло 10 проби масою 3,1 кг, срібло 6 проби масою 3,5
кг.
Завдання.
1)Які
частини цих трьох видів срібла треба взяти,
щоб після змішування отримати срібло 9 проби масою 10 кг?
Розв’язання.
Спочатку виконаємо два змішування: 1) для 6 та 12 проб і отримаємо 9 пробу, 2)
для 6 та 10 проб і отримаємо . Один під одним записуємо (пробу) двох наявних
видів срібла 12 проби та 6 проби, зліва від них
приблизно посередині- срібло 9
проби, яке повинно отримати після змішування. З’єднавши записані числа рисками,
отримаємо таку картину
6 пробу ®
12-9 =3 частини для срібла, що має 6
пробу.
9
проба
12
пробу ® 9-6 =3 частини
для срібла, що має ціну 12 пробу.
Найменшу
пробу віднімаємо від проби утвореного
срібла і цю різницю записуємо праворуч від більшої проби. Потім від більшої проби
віднімаємо пробу новоутвореного срібла, а результат цей записуємо праворуч від
найменшої проби. Отримаємо 12-9 =3
частини для срібла, що має 6 пробу та 9-6 =3 частини для срібла, що має 12
пробу.
Один
під одним записуємо (пробу) двох наявних видів срібла 10 проби та 6 проби,
зліва від них приблизно посередині- срібло 9 проби, яке повинно отримати після змішування.
З’єднавши записані числа рисками, отримаємо таку картину
6 пробу ®
10-9 =1 частини для срібла, що має 6
пробу.
9
проба
10
пробу ® 9-6 =3 частини
для срібла, що має ціну 10 пробу.
Найменшу
пробу віднімаємо від проби утвореного
срібла і цю різницю записуємо праворуч від більшої проби. Потім від більшої проби
віднімаємо пробу новоутвореного срібла, а результат цей записуємо праворуч від
найменшої проби. Отримаємо 12-9 =3
частини для срібла, що має 6 пробу та 9-6 =3 частини для срібла, що має 12
пробу.
Для
срібла 6 проби отримали 3+1=4 частини. А
новостворене срібло становить 4+3+3=10 рівних частин.
Звідси
у новому сплаві срібла маємо потрійне відношення для створення срібла 9 проби: 4 частини срібла 6 спроби, 3 частини срібла 10
проби, 3 частини срібла 12 проби.
З цього обчислення робимо висновок, що треба
взяти: (4/10) *10 = 4 кг срібла 6 спроби,
(3/10) *10 = 3 кг срібла 10 спроби,
(3/10) *10 = 3 кг срібла 12 спроби.
2)Які
частини цих трьох видів срібла треба взяти,
щоб після змішування отримати срібло 8 проби масою 9 кг?
3)Які
частини цих трьох видів срібла треба взяти,
щоб після змішування отримати срібло 7 проби масою 8 кг?
2.4 Задача про
косарів
У
спеку першого дня 6 косарів випили діжечку квасу за 8 годин роботи. Другого дня
до них приєдналися ще 9 косарів і вони разом працювали 10 годин. Між усіма
косарями квас розподілили порівну.
Завдання.
Скільки
квасу випиває один косар за 1 годину?
Скільки
діжок потрібно для усіх косарів другого
дня?
Чи
вистачить 5 діжок квасу на 5 годин робити для 20 косарів?
Чи
вистачить 7 діжок квасу на 8 годин робити для 30 косарів?
2.4 Задача про діда
та бабу
У
спеку дід та баба разом випивають діжечку квасу за 5 діб. За 35 діб
баба випиває 2 такі діжечки квасу. Між двома особа квас розподіляється порівну.
Завдання.
Скільки
квасу випиває один дід за добу?
Скільки
діжок потрібно для одного діда на 100 діб?
Чи
вистачить 8 діжок квасу на місяць діду
та бабі?
Чи
вистачить 6 діжок квасу на 100 діб для
однієї баби?
2.5 Задача про пуд
солі
За
500 дукатів куплено деяку кількість пудів солі. Якщо за таку кількість дукатів
купити на п’ять пудів більше, то кожний пуд обійшовся б 5 дукатами дешевше.
Завдання.
1)
Скільки
куплено пудів солі?
2)
Скільки
дукатів вартий пуд солі?
2.6 Задача про
освітлення залу
У
танцювальному залі у різних місцях розташовано 7 лампочок різного кольору,
причому до кожної лампочки поведено свій вимикач.
Завдання.
1)
Скільки
існує можливостей освітлювати зал, якщо до цього має бути увімкнена хоча б одна
лампочка?
2)
Скільки
існує можливостей освітлювати зал симетрично відносно центральної лампочки,
якщо до цього має бути увімкнена хоча б одна лампочка та лампочки розташовані на
одній прямій на однакових відстанях одна від одної?
3)
Скільки
існує можливостей освітлювати зал симетрично відносно центральної лампочки,
якщо до цього має бути увімкнена хоча б одна лампочка та лампочки розташовані
на одній прямій на однакових відстанях одна від одної?
2.7 Задача про
куркулів
Зустрілися
два куркулі. Один куркуль пропонує іншому віддати йому дві вівці, для того щоб у обох стало порівну вівців. А другий відповідає на пропозицію так: Краще ти мені
віддай двох вівців, тоді у мене буде у два рази більше, ніж у тебе.
Завдання.
1)Скільки
вівців було у кожного куркуля?
2)
Як треба обмінятися вівцями, щоб у одного куркуля стало в три рази більше
вівців?
3)
Як треба обмінятися вівцями, щоб у одного куркуля стало в п’ять разів більше вівців?
4)
Як треба обмінятися вівцями, щоб у одного куркуля стало в сім разів більше
вівців?
2.8
Моделювання рівномірних процесів на
обмеженому часовому проміжку
Для
Максима найулюбленіший спосіб задавати функції у= f(x)
– це графічний спосіб. Вчитель фізики запропонував Максиму користуватися
графічним способом для моделювання цікавих кусково-лінійних процесів(тобто
рівномірних процесів на певному часовому проміжку) в
прямокутній системі координат(при цьому дані рівномірні процеси на обмеженому
часовому проміжку мають зв’язок між
двома величинами: у – залежна величина, що характеризує зміни в процесі та х –
незалежна величина, що характеризує терміни або
часовий проміжок процесу).
Завдання.
1)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної
функції, у якої збігаються область визначення та область значення. Записати
формулою утворену функцію. Чи може дана функція описувати рух деякого
транспортного засобу?
2)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної
функції у(х), у якої у(0) = 3 та у(4) =2. Записати формулою утворену функцію. Чи може дана функція описувати густину деякої речовини?
3)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної
функції у(х), у якої значення у(0), у(4), у(8)
не існують. Записати формулою утворену функцію. Чи може дана функція описувати зміну
температури деякого тіла у середовищі?
4)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної
функції у(х), у якої область визначення (0;
4), область значення (0; 2). Записати формулою утворену функцію. Чи може дана функція описувати вартість
деякого продукту на деякому часовому проміжку?
5)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної функції, у якої область визначення збігаються
з обмеженим проміжком додатних дійсних чисел та область значення
збігаються з обмеженим проміжком від’ємних дійсних чисел. Записати формулою утворену функцію. Чи може дана
функція описувати кількість товару на складі протягом деякого часового
проміжку?
6)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної
функції, у якої збігаються усі нулі з
областю визначення та областю значення. Записати формулою утворену функцію. Чи може дана
функція описувати кількість чоловік у
транспортному засобі протягом деякого часового проміжку?
7)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної функції,
у якої областю визначення та областю значення являються
відповідно два проміжки дійсних чисел різної довжини. Записати формулою
утворену функцію. Чи може дана функція описувати кількість виділеної теплоти
під час хімічної реакції протягом деякого
часового проміжку?
8)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної функції,
у якої областю визначення та областю значення являються
проміжки дійсних чисел, що симетричні відносно нуля. Записати
формулою утворену функцію.
Чи може дана функція описувати кількість
новоутвореної речовини під час хімічної реакції
протягом деякого часового проміжку?
9)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної функції,
у якої немає проміжків строгого
зростання на всій області визначення.
10)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної функції,
у якої немає проміжків строго
спадання на всій області визначення. Записати формулою дану функцію. Записати
формулою утворену функцію.
11)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної функції,
у виконується властивість парності. Записати формулою утворену функцію.
12)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної функції,
у виконується властивість непарності. Записати формулою утворену функцію.
13)
Як
зміниться графік функції у= f(x), якщо над
формулою f(x) виконали
арифметичні дії і отримали
функцію у = 2f(x-3)+4?
14)
Як
зміниться графік функції у= f(x), якщо над
формулою f(x) виконали
арифметичні дії і отримали
функцію у = |f(|x|-3)|?
15)
Як
зміниться графік функції у= f(x), якщо над
формулою f(x) виконали
арифметичні дії і отримали
функцію у = -f(-x)?
16)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної функції,
у якої є постійні періоди проміжків строго спадання на всій області
визначення. Записати формулою утворену функцію.
17)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної функції,
у якої є постійні періоди проміжків строго зростання на всій області
визначення. Записати формулою утворену функцію.
18)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної функції,
у якої є постійні періоди проміжків не строго зростання на всій області
визначення. Записати формулою утворену функцію.
19)
Cтворити і
побудувати графік кусково-лінійної функції,
у якої є постійні періоди проміжків не строго спадання на всій області
визначення. Записати формулою утворену функцію.
20)
Як
треба змінювати кутовий коефіцієнт та вільний член початкової функції у = ах+ b, щоб графіки початкової і зміненої функції
були симетричними відносно осі Ох? Записати формулою утворену функцію.
21)
Як
треба змінювати кутовий коефіцієнт та вільний член початкової функції у = ах+ b, щоб графіки початкової і зміненої функції
були симетричними відносно осі Оу? Записати формулою утворену функцію.
22)
Як
треба змінювати кутовий коефіцієнт та вільний член початкової функції у = ах+ b, щоб графіки початкової і зміненої функції
були симетричними відносно початку координат? Записати формулою утворену
функцію.
2.9
Центр обслуговування «Мобілочка»
До центру обслуговування «Мобілочка» привезли у великому ящику х чорних смартфонів
в упаковках і у білих смартфонів в упаковках(х > у>0). Усі смартфони в однаковій упаковці витягують
із великого ящика навмання і кладуть на стіл.
Завдання.
1.Яку найменшу кількість смартфонів треба витягти із ящика, щоб
3 білі смартфони лежали на столі?
Відповідь: х+3 операцій
витягування.
2.Яку найменшу кількість смартфонів треба витягти із ящика, щоб 10 чорних смартфони лежали на
столі?
Відповідь: у+10 операцій
витягування.
3. Чи можна вважати, що половина білих смартфонів
лежатимуть на столі, якщо витягнути на стіл рівно половину від усіх смартфонів,
що лежать у великому ящику?
Розв’язання:
У найгіршому випадку у ящику лежать два смартфони
білий та чорний, бо х та у ненульові числа. Половину становить
один смартфон. У найгіршому випадку спочатку навмання витягують чорний смартфон. Це означає, що не можна
вважати, що на столі лежатимуть половина білих смартфонів.
4.Яку найменшу кількість смартфонів треба витягти із ящика, щоб усі чорні смартфони лежали на столі?
Розв’язання:
У найгіршому випадку спочатку навмання витягують усі
білі смартфони. Це означає, що треба зробити у операцій витягування. Для витягування усіх чорних смартфонів треба зробити х операцій витягування. Відповідь: х + у операцій
витягування.
5.Яку найменшу кількість смартфонів треба витягти із ящика, щоб
усі білі смартфони лежали на столі?
6.Яку найменшу кількість смартфонів треба витягти із ящика, щоб мати
на столі один чорний смартфон?
7.Яку найменшу кількість смартфонів треба витягти із ящика, щоб мати
на столі один білий
смартфон?
8.Яку найменшу кількість смартфонів треба витягти із ящика, щоб мати
на столі один білий та один чорний
смартфон?
2.10 Як купити смартфона?
Менеджер фірми звернувся до юного математика Мар’яна
за допомогою. Як йому розрахувати фінансову підтримку найнятого на роботу персоналу? У нього зараз п'ятеро молодих
робочих отримають на всіх зарплату - m гривні. Кожен з них за отримані гроші хоче купити собі однакові смартфон ціною не менше, ніж х гривні.
Завдання.
1. При
якій умові на змінні х та m комусь з робочих доведеться
почекати з покупкою до наступної зарплати?
Розв’язання. Розглянемо випадки:
1)Якщо усі куплені
смартфони коштують менше 0 < х
< m/5 грн,
то усі робочі куплять по одному смартфону, за умови, що поділять між собою
порівну m грн.
Якщо ціна смартфона m/5 < х < m/4 грн, то кожен з робочих не купить смартфона за
умови, що поділять між собою порівну m грн. Проте, якщо поділять не порівну, то у найкращому випадку у
небільше ніж чотирьох робочих є шанс купити смартфон, за умови розподілу:
х + х + х + х + m-4х = m.
Якщо ціна смартфона m/4 < х < m/3 грн, то кожен з робочих не купить смартфона за
умови, що поділять між собою порівну m грн. Проте, якщо поділять не порівну, то у найкращому випадку у не
більше ніж трьох робочих є шанс купити смартфон, за умови розподілу:
х + х + х + (m-3х):2 + (m-3х):2 = m.
Якщо ціна
смартфона m/3 < х < m/2 грн, то кожен з робочих не купить смартфона за
умови, що поділять між собою порівну m грн. Проте, якщо поділять не порівну, то у найкращому випадку у
небільше ніж двох робочих є шанс купити смартфон, за умови розподілу:
х + х + (m-2х):3
+ (m-2х):3
+ (m-2х):3=
m.
Якщо ціна
смартфона m/2 < х < m грн, то кожен з робочих не купить смартфона за
умови, що поділять між собою порівну m грн. Проте, якщо поділять не порівну, то у найкращому випадку у
небільше ніж одного робочого є шанс купити смартфон, за умови розподілу:
х +(m-х):4 +(m-х):4 +(m-х):4+ (m-х):4 = m.
Якщо ціна
смартфона m < х грн, то кожен з робочих не купить собі смартфона.
Немає коментарів:
Дописати коментар